Системы линейных и дифференциальных уравнений (стр. 2 из 4)

и .

кв.ед.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

, где - смешанное произведение трех векторов , и

Тогда

куб.ед.

Ответ:

ед.; А₁А₄: ; А₁А₂А₃:

h:

; кв.ед.; куб.ед.

4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

;

Решение:

Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -

Е, где Е – единичная матрица,

– независимая переменная.

А –

Е =

– = .

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения

. Получаем:

Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть Х=

– искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -

Е) = 0 выглядит так:

или

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При

система принимает вид:

Общее решение этой системы

, где любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение.

Пусть, например,

, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

При

система принимает вид:

Общее решение этой системы

, где любое число.

Пусть, например,

, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

Аналогично при

получаем систему

общее решение которой

, где любое число.

Пусть

, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид: .

Ответ:

, , .

5. Решить систему методом Жорданa - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Решение:

Преобразуем расширенную матрицу системы к диагональному виду:

откуда получаем следующую систему

и

- общее решение исходной системы уравнений.

Частные решения получим присвоив конкретные значения переменной х₄:

тогда: , т.е. решением будет вектор (0; -4; 0; -1)

тогда: , т.е. решением будет вектор (0; 3; -1; 2).

Выполним проверку общего решения:

- верные равенства.

Ответ:

; (0; -4; 0; -1); (0; 3; -1; 2).

к/р № 2

1. Найти следующие пределы.

а)

б)

Решение:

а)

- неопределенность с бесконечностью. Раскроем скобки, приведем подобные и разделим числитель и знаменатель дроби на максимальную степень х. Получим:

б)

- неопределенность . Избавимся от обнуляющего множителя, для этого числитель разложим на множители, а к знаменателю применим эквивалентную бесконечно малую: при . Получим: