Алгебра и топология (стр. 7 из 8)
– линейная метрика d1 в среднем дает существенно большее отклонение от функций
и 
(~0,32), чем евклидова метрика d2(~0,17).6. Классы и многообразия. Термин класс обычно употребляется в математике как синоним термина «множество» и, аналогично последнему, обозначает произвольные совокупности или признаки (например, в алгебре – классы эквивалентности относительно данного отношения эквивалентности).
Иногда классами предпочитают называть совокупности, элементами которых являются множества (например, в рекурсивной теории – перечислимые классы).
В аксиоматической теории множеств термин класс применяется для того, чтобы подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно классом, а не множеством в узком смысле (например, в алгебре – примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями).
Перечислимые классы – это классы, содержащие рекурсивно перечислимые множества. Примерами перечислимых множеств являются области значений вычислимых функций, то есть функций, вычисление значений которых может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной (реализуемой на машине Тьюринга) процедуры или алгоритма.
Примитивный класс универсальных алгебр с системой операций W выделяется тем множеством тождественных соотношений
в них, которое выполняется всеми алгебрами этого класса.Многообразие в этом аспекте выступает как синоним понятия «примитивный класс», поскольку многообразие в общем случае интерпретируется, как совокупность объектов, наделенных некой структурой.
Таким образом, можно говорить о многообразии алгебраических систем, как класса фиксированной сигнатуры W, аксиоматизируемого при помощи тождеств-формул вида
,где P – какой-либо предикатный символ из W или знак равенства, а f1,…,fm – термы сигнатуры W от предметных переменных x1,…,xn.
Пример 5.12. Примитивный класс (многообразие) составляют группы, рассматриваемые как алгебры с одной бинарной, одной унарной и одной нульарной операциями
G= < A; (•), µ, e>.
Здесь W={(•), µ, e} – сигнатура операций, где:
(•) – бинарная операция;
µ – обозначение унарной операции «обратный элемент»;
e – нульарная операция «сигнатурная единица».
В данном случае многообразие включает группу:
<R¢; *, -1, 1> – множество отличных от нуля действительных чисел R¢ с обычным умножением *, обращением –1 и числом 1 в качестве нейтрального элемента;
<R;Å, «–«, 0> – множество действительных чисел R, бинарная операция сложения Å, «–« унарная операция образования отрицательных чисел, 0 – нейтральный элемент;
<Mn,n; *, -1, In,n> – множество квадратных матриц Mn,n, бинарная операция умножения *, унарная операция обращения матрицы –1, In,n – единичная матрица;
<Sn; *, -1, e> – алгебра подстановок (см. §2.2, п. 4)
и тому подобные.
Система тождеств:
,выполняется в каждой из приведенных в примере алгебр. Таким образом, эти алгебры входят в
-многообразие групп.Отметим, что если система тождеств
будет дополнена тождественным соотношением x(•)y=y(•)x, то выделяется 
-многообразие абелевых групп более узкое в сравнении с -многообразием.Из приведенных в примере 5.12 групп, только группы R¢ и R являются абелевыми.
Если будут использованы другие дополнительные тождества, то многообразие будет сужаться почти всегда.
Кольца, ассоциативные кольца, ассоциативно-коммутативные кольца и другие этого же рода алгебры составляют соответствующие многообразия.
7. Категории и функторы. При рассмотрении множеств с некоторым строением и с некоторыми отображениями между ними, которые сохраняют данное строение; глобальных межсистемных связей и т. п., – нередко обычные алгебраические средства оказываются недостаточными. Полезным дополнением к ним во многих случаях могут служить конструкции и методы теории категорий, привлекающей все большее внимание в различных прикладных областях.
КатегорияК состоит из объектов (ОbК) и морфизмов (MorK), связанных следующими условиями:
1. Каждый морфизм aÎMorK приписан к некоторой единственной для него упорядоченной паре объектов (A, B), При этом, как и ранее, пишут a:A®B или
. Объект A называют началом или областью определения морфизма a, а объект – его концом или областью значений.Множество всех морфизмов, приписанных к данной паре объектов (A, B) обозначают Hom(A, B), HK(A, B) или H(A, B).
2. Для любых морфизмов a:A®B и b:B®C (aÎH(A,B) и bÎH(B,C)) определено их произведениеab, причем abÎH(A, C), называемое также композицией.
3. Если задана a:A®B, b:B®C и g:C®D так, что (ab)g и a(bg), определены, то равенство
(ab)g=a(bg) (5.9)
отражает ассоциативность произведения морфизмов.
4. Для любого объекта A существует морфизм 1A
такой, что 1A 
и 
1A= для любых a:A®B и b:C®A. Морфизм 1A называется тождественным или единичным на A.Из этих определений следует, что H(A, A) для любых объектов A является моноидом.
Пример 5.13. Категория St, которую образуют все множества в данном универсуме и все отображения между ними, включая для каждого множества A отображение Æ®A, определяемое пустой функцией Æ.
Пустое множество Æ является левым нулем (инициальным объектом), а одноэмментное множество правым нулем (терминальным объектом). Всякое непустое множество является образующим объектом. Всякий мономорфизм с непустым началом есть обратимое справа инъективное отображение, всякий эпиморфизм есть обратимое слева сюръективное отображение.
Нулевой объект категории – такой объект (обозначаемый обычно 0), что для каждого объекта X этой категории множества H(X, 0) и H(0, X) одноэлементные.
Если в категории с нулем через w0X обозначить единственный морфизм в H(0, X), через wX0 – единственный морфизм в H(X, 0), то нулевой морфизм из A в B определится равенством
wAB=wA0w0B (5.10).
Из свойств категории St следует, что H(A, B) есть не что иное, как совокупность всех функций, заданных на A и принимающих значения в множестве B. Таким, образом, wAB=f(x1,…,xn)=0 – нуль-функция. Тождественный морфизм 1B – это тождественная функцияfA:A®A, а произведение морфизмов f:A®B, g:B®C совпадает с обычной суперпозицией функции f0g.
Соответствие между любыми категориями K1и K2 выражается функтором, – понятием, в определенном смысле, подобном понятию функции.
Функтор – отображение одной категории в другую. При этом имеется в виду пара отображений:
ObK1 в ObK2 иHomK1в HomK2,
для простоты обозначаемых одной и той же буквой, например F и удовлетворяющие следующим условиям:
1) если aÎH(A,B), то F(a)ÎH(F(A),F(B));
2) если aÎH(A,B) и bÎH(B,C), F (ab)=F(a)F(b);
3) F(1X)=1F(X) для любого объекта X из K.
Для любой категории K отображение A®A,a®a отображает тождественный функтор этой категории на себя.
Отображение F:K®K¢ категории K в категорию K¢ называется ковариантным функтором, если для каждого объекта AÎObK объект F(A) ÎObK¢, для каждого морфизма aÎHK(A, B) образ F(a)Î
(F(A), F(B)), причем F(1A)=1F(A) и F(ab)=F(a)´F(b) всякий раз, когда определено произведение ab.Функтор из категории K в категорию множеств St, сопоставляющий каждому K-объекту X множество FP(X)=H(P, X), а каждому морфизму b:X®Y – отображение FP(b):F(X)®F(Y), a®ab, называется основным функтором. С последним определением связано понятие проективного объекта. Объект Pпроективен, если основной функтор FP переводит эпиморфизмы категории St.
Каждой категории K может быть сопоставлена двойственная (дуальная) категория K*, для которой ObK*=ObK и