Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений (стр. 6 из 6)

Пример 13.

Решение. Обозначим

через , т.е. сделаем замену переменных или Тогда первоначальное уравнение можно переписать в виде или, применяя формулу в виде

Поскольку корни квадратного уравнения

есть , то решения биквадратного уравнения есть

Следовательно, решения исходного уравнения таковы

Ответ:

Пример 14.

Решение. Представляя это уравнение в виде

вводим новое неизвестное Уравнение примет вид

Обратная замена:

Ответ:

Пример 15.

Решение. Умножив обе части уравнения на 12 и обозначив

через , получим уравнение . Перепишем это уравнение в виде

(1)

Замена:

.Перепишем уравнение в виде . Уравнение (1) .

Обратная замена:

Ответ:

Пример 16.

Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести новые переменные

и , то получим уравнение , являющееся однородным уравнением степени 3 относительно и .

Однородные уравнения относительно

и обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, например , если не является корнем уравнения, то оно превращается в уравнение с одной переменной .

Решим уравнение

. Разделим многочлен на , перейдём к равносильному уравнению

Ответ:

.

Заключение

В последнее время алгебраические уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основные методы решения таких уравнений были отмечены в нашей работе. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях.

Исходя из третьей задачи курсовой работы, мы осуществили типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений. Выделили, что новая переменная может вводиться как явно, так и неявно.

В данной работе был составлен и решён комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Итак, нам удалось изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях, т.е. цель курсовой работы достигнута.

Список литературы

1. Черкасов, О.Ю. Математика для поступающих в вузы / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. – Оформление «Московский лицей», 1996. – 348 с.

2. Фирстова, Н.И. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений / Н.И. Фирстова // Математика в школе – 2002. – №5. – С. 68 – 71.

3. Олехник, С.Н. Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств: Справочник / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 144 с.

4. Шарыгин, И.Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.

5. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в втузы: Учеб.пособие / В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; под ред. М.И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1993. – 528 с.

6. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2005.

7. Гусев, В.А. Справочник по математике / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1995. – 448 с.

8. Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. Учеб. пособие для студентов пед. инст-ов по матем-ой специальности / В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1984. – 288 с.

9. Виленкин, Н.Я. Алгебра: Учеб.пособие для уч-ся 9 кл. с углублен. изучением матем-ки / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев; под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 2001. – 384 с.

10.Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1986. – 320 с.