Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений (стр. 5 из 6)
Сделаем обратную замену:
Ответ:
Пример 6. 
Прежде, чем решить заданное уравнение, продемонстрирую алгоритм решения возвратного уравнения:
– разделить левую и правую части уравнения на
. При этом не происходит потери решения, т. к. 
не является корнем исходного уравнения при 
– группировкой привести полученное уравнение к виду
– ввести новую переменную
, тогда выполнено 
т.е. 
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным 
– решить его относительно
, возвратиться к исходной переменной. Решение. Исходя из алгоритма решения таких уравнений, разделим левую и правую части уравнения на
, получим равносильное ему уравнение 
.Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде
или в виде
Положив
получим уравнение 
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Ответ:
Пример 7. 
Решение. Обозначим
Таким образом, для
и 
имеем симметричную систему: 
Обозначим
тогда 
Таким образом,
Ответ:
Пример 8. 
Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаменателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение четвёртой степени является возвратным. Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части, на
. Получим 
Положим
, тогда 
Обратная замена:
или 
корней нет.Ответ:
Пример 9.
Решение. Так как
не является корнем данного уравнения, то, разделив обе его части на , получим уравнение 
Сделав замену неизвестной
последнее уравнение перепишем в виде 
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ:
Пример 10. 
Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух квадратов, естественно попытаться дополнить её до квадрата суммы или разности. Во втором случае получим
Введём замену:
получим 
Вернёмся к «старой» переменной:
Ответ:
Пример 11.
Решение. Обозначим
тогда получим 
Обратная замена:
Ответ:
Пример 12.
Решение. Так как
не является решением уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на 
, перепишем его в виде 
Сделав замену переменных
перепишем уравнение в виде 
Решения этого уравнения есть
Обратная замена:
Ответ:
.