Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений (стр. 3 из 6)
Попробуем составить ещё одно уравнение, зависящее от переменных
и 
. Для этого найдём сумму: 
Итак, надо решить систему 
Ответ:
Пример 5.Решить уравнение
Решение. Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвёртой, в первой и третьей скобках, равны, т.е. -7+2=-1–4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению
Введём замену:
получим 
Решив квадратное уравнение 
, находим, что 
или 
.Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:
Ответ:
.Пример 6.Решить уравнение
Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвёртой скобках, равны, т.е.
Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение 
Поскольку
– не корень, разделим обе части уравнения на 
Получим: 
Введя замену:
запишем исходное уравнение в следующем виде: 
т.е. 
Отсюда
. Вернёмся к исходной переменной: 
Первое уравнение совокупности имеет корни
. Второе уравнение не имеет корней.Ответ:
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Вид уравнения совсем не подсказывает, что его можно свести к однородному. Преобразуем первый множитель, выделив из него выражение, равное второму множителю, т.е.
Подставляя последнее выражение в исходное уравнение, запишем, что
и далее:
Введя замену:
и 
приведём последнее уравнение к виду 
. Это однородное уравнение второй степени относительно и . В нём 
. В самом деле, если 
, то уравнение приводится к виду 
, или 
Но система 
решений не имеет.Разделив обе части уравнения
на 
, запишем. Что
Отсюда
Ответ:
Пример 8.Решить уравнение
Решение. Поскольку функция
существует при любых значениях 
, найдём область определения функции 
значит,
. Ясно, что можно ввести замену 
или 
Пусть . Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция синус принимает все свои значения, например отрезок 
Подставив замену в уравнение, получим:
Вернёмся к «старой» переменной:
Ответ:
Пример 9.Решить уравнение
Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение
и упростим левую часть исходного уравнения: 
(1)Введём замену
тогда уравнение (3) примет вид: 
, или 
,При дальнейших упрощениях получим
Применим основное свойство дроби к левой части уравнения, разделив на
: 
Введём вторую замену
и решим уравнение: 
Возвращаясь к исходной переменной, придём к совокупности:
Второе уравнение совокупности не имеет решений, а первое даёт два решения, которые и выносятся в ответ.
Ответ:
