и

откуда следует, что

т.е.

Пусть

Это означает

Но тогда

и

Следовательно,

Пусть имеет место

Это означает, что

и

Значит,

и

, т.е.

. Лемма, доказана.
Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.
Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 7Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.
Определение 3.3.

-арная группа

называется
нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом

что

и

для любого

.
Так как конгруэнции на

-арных группах попарно перестановочны (смотри, например, ), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.
Лемма 3.6. Пусть

–

-арная группа.

и

– нормальные подгруппы группы

и

.
Тогда

, где

и

конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами

и

на группе

.
Доказательство:
Подгруппы

и

индуцируют на группе

конгруэнции

и

, определяемые следующим образом:

–

-арная операция.
Определим на

бинарное отношение

следующим образом:

тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов

и

из

и

соответственно, что

Покажем, что

– подалгебра алгебры

. Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать

-арный оператор

.
Пусть

Так как

, то

Так как

, то

Поэтому в силу того, что

,

Итак,

– подалгебра алгебры

.
Пусть

– нейтральная последовательность группы

, а, следовательно, и группы

. Тогда из определения бинарного отношения

следует, что

Тем самым доказало, что

– конгруэнция на

.
Тo, что

удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.
Лемма 3.7. Пусть

– нильпотентная

-арная группа. Тогда

удовлетворяет определению 2.1.
Доказательство:
Так как

для любого

, то

индуцирует конгруэнцию

на

. Таким образом

обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.
В частности, для произвольной бинарной группы

отсюда следует, что

нильпотентна тогда и только тогда, когда,

удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.
4. Классы абелевых алгебр и их свойства
Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра

называется
нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций