Абелевы универсальные алгебры (стр. 7 из 11)
называемый центральным, что
Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.
Доказательство:
Пусть
– подалгебра нильпотентной алгебры 
. Так как обладает центральным рядом то для любого
на алгебре 
существует конгруэнция 
удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из 
всегда следует
и
1) для любого элемента
всегда выполняется
2) если
и
то
Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что
тогда и только тогда, когда
Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре
: 
где
Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре
для любого определим бинарное отношение 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда
Покажем, что
– конгруэнция на алгебре . Пусть 
Тогда
и для любой
-арной операции 
имеем 
Следовательно,
Итак,
– подалгебра алгебры 
.Очевидно, что для любого элемента
имеет место 
Таким образом, согласно лемме 2.3,
– конгруэнция на алгебре .Пусть
Тогда
и так как 
, то 
Если
, то и, значит,
т.е.
Пусть, наконец,
Тогда
и так как
Следовательно,
Итак, конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана.Лемма 3.2. Пусть
и 
– конгруэнции на алгебре , 
и
– изоморфизм, определенный на алгебре .Тогда для любого элемента
отображение 
определяет изоморфизм алгебры
на алгебру 
, при котором 
Доказательство:
Очевидно, что
– изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям 
и 
.Так как
, то существует конгруэнция 
на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что 
для любых элементов
, 
.Но тогда легко проверить, что
– конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что Лемма доказана.
Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.
Доказательство:
Пусть
центральный ряд алгебры
. Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд 
является центральным, т.е.
