Абелевы универсальные алгебры (стр. 6 из 11)

Так как

то

то есть

удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если

, то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и

.

Так как

то

Из (4) следует, что

, следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно,

.

А так как

, то , то есть

4) Обозначим

. Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение

на следующим образом

тогда и только тогда, когда

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что

– конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Формационные свойства нильпотентных алгебр

Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1].

Напомним, что для

и – конгруэнции на алгебре – говорят, что централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

, то

Очевидно, что для любой конгруэнции

на алгебре конгруэнция централизует . В этом случае .

Заметим, что если

и – конгруэнции на группе и , то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов , имеют место следующие соотношения:

Тогда

и в силу транзитивности

из этих соотношений следует, что

По определению 2.1 получаем, что

Следующее определение центральности принадлежит Смиту .

Определение 3.1.

, если существует такая , что для любого ,

Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1.

означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что .

Пусть

и – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента ,

Докажем обратное включение.

Пусть

. Так как , то из условия 2) следует, что

В силу транзитивности

имеем

и, значит, в силу условия 3)

. Итак

Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если

, то

Это означает

.

Для

получаем, что

откуда

.

Согласно работе

Определение 3.2. Алгебра

называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции