Абелевы универсальные алгебры (стр. 5 из 11)

3) если

, и факторы , перспективны, то

4) если

– конгруэнции на и , то

где

, .

Доказательство.

1) Так как конгруэнция

централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что

Пусть

– изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5

, а по определению

Следовательно,

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции

и на алгебре имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим

. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если

, то

б) для любого элемента

,

в) если

то

Построим бинарное отношение

на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что

– конгруэнция на . Пусть

для

. Тогда

и

Так как

– конгруэнция, то для любой -арной операции имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары

Значит,

Итак, по лемме 2.3,

– конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть

Тогда

Так как

, и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если

, то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда

Так как

и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция

удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение. Пусть

Тогда на алгебре

определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение

на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

, .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что

– конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .