3) (транзитивность): если

и

, то

.
Отметим, что условия 1) – 3) означают, что

–
эквивалентностъ на множестве

.
Определение 1.7. Пусть

– гомоморфизм алгебры

в

.
Ядром гомоморфизма 
называется подмножество

В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах
Теорема 1Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.
Определение 1.8. Если

– конгруэнция на алгебре

и

, то множество

называется классом конгруэнции

. Множество всех классов конгруэнции

обозначают через

. При этом для каждой

-арной операции

считают

, а для

-арной операции

, где

, –

. Получившуюся алгебру называют
фактор-алгеброй алгебры

по конгруэнции

.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2Если
– гомоморфизм алгебры
в
, то 
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3Пусть
конгруэнция на алгебре
,
– подалгебра алгебры
. Тогда 
Определение 1.9. Если

,

– конгруэнции на алгебре

и

содержится в

, то обозначим

и назовем фактором алгебры
или фактором на
. Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4Пусть
– фактор на алгебре
. Тогда 
Определение 1.10. Если

и

– конгруэнции алгебры

, то полагают

Теорема 5Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.
Определение 1.11. Класс алгебраических систем

называется
формацией, если выполняются следующие условия:
1) каждый гомоморфный образ любой

-системы принадлежит

;
2) всякое конечное поддекартово произведение

-систем принадлежит

.
Определение 1.12. Формальное выражение

, где

и

– слова сигнатуры

в счетном алфавите

, называется
тождеством сигнатуры

. Скажем, что в алгебре
выполнено тождество 
, если после замены букв любыми элементами алгебры

и осуществления входящих в слова

и

операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры

, т.е. для любых

в алгебре

имеет место равенство

Определение 1.13. Класс

алгебр сигнатуры

называется многообразием, если существует множество

тождеств сигнатуры

такое, что алгебра сигнатуры

принадлежит классу

тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества

. Многообразие называется
мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.
2.Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Напомним, что класс

алгебр сигнатуры

называется
многообразием, если существует множество

тождеств сигнатуры

такое, что алгебра сигнатуры

принадлежит классу

тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества

.
Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.
Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].