Абелевы универсальные алгебры (стр. 10 из 11)

называемый центральным, что

для любого

.

Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры

в центральном ряде , то есть если для нее , то алгебра называется, абелевой.

Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть

подалгебра абелевой алгебры .

Так как по определению

, то на существует такая конгруэнция , что:

1) из

всегда следует

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

то

Рассмотрим конгруэнцию

Действительно, если

для

, то

и для любой

-арной опеации имеем

Но поскольку

подалгебра алгебры , получаем

Значит,

подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента

имеет место

Таким образом,

конгруэнция ня алгебре .

Пусть

тогда

то

Если , то

и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и значит

.

Итак, конгруэнция

удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть алгебра

– абелева, то есть . Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется

Пусть

– конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1.

Определим бинарное отношение

на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы

, , , , что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

– конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что

удовлетворяет определению 2.1. Пусть

тогда

Пусть

Тогда

, и по определению 2.1

При этом

и . Согласно нашим обозначениям получаем, что

Пусть

Тогда найдутся

, что

и

При этом

Следовательно,

Но тогда по определению 3.1.

. А так как , то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если

, и – абелевы алгебры, то – абелева алгебра.

Пусть

и . Это означает, что на алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1.