Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 9 из 9)

6)

Згідно з задачею 24

, тоді

, ,

26. Нехай

, де неперервна за всіма аргументами і двічі неперервно диференційовна за третім аргументом. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

, ,

Відповідь:

.

27. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 26.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

28. Нехай

, де неперервна за всіма аргументами і неперервно диференційовна за другим та третім аргументами. Знайти похідну Фреше в точці .

Розв’язок

,

Відповідь:

29. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках, користуючись задачею 28.

1)

,

2)

,

3)

,

4)

,

30. Нехай

, де – неперервна за всіма аргументами й неперервно диференційовна за всіма аргументами, починаючи з другого. Знайти похідну Фреше функціонала , де – нормований простір неперервно диференційовних на n-вимірних вектор функцій з нормою

, де

Розв’язок

,

31. Нехай на нормованому просторі

задані функціоналів, диференційовних за Фреше в деякій точці . Нехай , тобто . Знайти похідну Фреше відображення в точці , якщо .

Розв’язок

,

32. Нехай задано відображення

. Знайти похідну Фреше.

Розв’язок

Покажемо, що

Відповідь:

.

33. Нехай задано відображення

. Знайти похідну Фреше

Розв’язок

Відповідь:

.

34. Нехай задано відображення

. Знайти похідну Фреше

Розв’язок

Позначимо

,

тоді

,

Розглянемо

,

тоді

Відповідь:

.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М., 1967.

4. Березанский Ю.М., Ус, Шефтель Функциональный анализ