х0 х0 + Δх
Производная функция у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x0) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).
Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.
Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.
Правила дифференцирования функций.
Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.
1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)
2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)
3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const
4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V2(x)
Таблица производных.
1. C` = 0, C – const.
2. x` = 1
3. (xα)` = α xα – 1, α Є R
4. (ax)` = ax lnx, a>0 , a≠1
5. (ln x)` = 1/x
6. (sin x)` = cos x
7. (cos x)` = - sin x
8. (tg x)` = 1/(cos x)2
9. (ctg x)` = - 1/(sin x)2
10. (arcsin x)` = 1/
2)11. (arccos x)` = - 1/
2)12. (arctg x)` = 1/(1 + x2)
13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x2)]
правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.
Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.
Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ∆х = 0,1
Решение: f(х) = х2, f(х+∆х) = (х+∆х)2
Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)2 – x2 = x2+2x*∆x+∆x2 – x2 = 2x*∆x + ∆x2/
Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01 = 0,21
Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.
Решение: (х2)` = lim ∆f / ∆х Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x2, подставим, получим
(x2)` = lim ∆f / ∆х = lim (2x*∆x+∆x2)/∆x = lim [∆x (2х + ∆х)]/ ∆x = 2x Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1
Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),
∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х - ∆х – (1 – х) = 1-х - ∆х – 1 + х = - ∆х
при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.
Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.
Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х.
Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *℮х.
Решение: у` = (x2)` *℮х + x2 *(℮х)` = 2x ℮х + x2 *℮х ln℮
ln ℮ = log℮℮ = 1. y` = 2x℮x + x2 * ℮x
Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`.
Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] / (х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2) / (x2+1)2
Производные от сложных функций.
Формула для нахождения производной от сложной функции такова:
[f (φ(х))]` = fφ`(φ(x)) * φ`(x)
Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx * cosx.
Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х
Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.
Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/
℮ 
Пусть функция у= f(х) определена в точке х0 и некоторой ее окрестности, придадим точке х0 приращение Δх и получим точку х0+Δх, значение функции в этой точке – f(х0+Δх). Разность значений f (х0+Δх) – f(х0) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х0+Δх) – f(х0). Рис. 1 
