1, если х – рациональное число.
f(х) =
0, если х – иррациональное число.
Основные элементарные функции.
Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:
1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.
2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1.
3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1
4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.
5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,
у = arcctg х.
Сложная функция. (суперпозиция функций).
Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.
Например, у =
)/(sin
2х+3) или у = 2 - tg х.
Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.
У
Рис.3
|
Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.
1 класс алгебраических функций:
а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, … , Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена.
б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.
в) Иррациональная функция, например, у =
+ х2. 2 класс трансценденных функций.
а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция,
б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,
в) все тригонометрические функции,
г) все обратные тригонометрические функции,
д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = хπ.
Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.
Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ε.
Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.
Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b. (lim – сокращенное слово limit(предел)).
Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.
При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4. 
y y 
f(a) y= f(x) 
y = f (x) 
b 
0 0 a x а х
Рис.1 Рис.2
y 
f(a) 
f(a) 
0 a x 0 a x
Рис.3 Рис.4
На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.
Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x) 2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x) 3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
lim С*f(x) = С *lim f(x) Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.
4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0. Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.
Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.
Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.
Выделяют неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).
Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00.