По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Пример Решить систему уравнений.
х + у – z=2
5х + у – z=7
1) Составим и вычислим определитель системы ∆=
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х =
Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.
а11 а12 а13…а1п
а21 а22 а23…а2п
……………… = Ам*п= //аij//
ам1 ам2 ам3…амп , где
m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Разновидности матриц.
1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n.
2. Матрица называется квадратной, если m=n.
3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.
4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.
2) 1 2 - квадратная матрица.
3 4
3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.
4)
12 матрица столбец.
5
3
5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
2 6 0 или 0 4 2
-1 –2 8 0 0 -1
6)
Например, 1 0 0
0 –2 0
0 0 5
7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.
Е = 0 1 0
0 0 1 .
Алгебра матриц.
1. Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.
Ам*п = Вм*п - аij = bij (i =
- этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,
обозначение (i =
2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.
| | |
|
С= * = =
С11=1*3+2*2=7; | С12=1*4+2*(-1)=2 | С13=1*1+2*(-2)= -3 | С14=1*3+2*4=11 |
С21=2*3+4*2=14; | С22=2*4+4*(-1)=4 | С23=2*1+4*(-2)= -6 | С24=2*3+4*4=22 |
С31=3*3+1*2=11 | С32=3*4+1(-1)=11 | С33=3*1+1*(-2)=1 | С34=3*3+1*4=13 |
|
В = 2 1 3 4
1 3