-12) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.
Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом
и определяемое равенством 
= а11а22-а12а21.Например, Вычислить определитель
= 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.
Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом
и определяемое равенством = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 – (а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).Например,
= 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10Перечислим свойства определителей:
1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.
3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.
4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Например,
= 
Алгебраическое дополнение. Минор.
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.
Например, в определителе,
Минором к элементу 4 является М13= 
= = 10+2=12.Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij , умноженный на (-1)i+j, т.е.
Аij = (-1)i+j Mij
В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 *
= 10+2=12.В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.
Продолжим изложение свойств определителей.
6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.
Например,
= а11*А11 +а12*А12+а13*А13; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.
Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0.
Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.
Пример. Вычислить определитель
двумя способами.первый способ.
= 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца.
= -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2 
+ 5(-1)2+2 
+(-1)3+2 
= -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1 а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2
а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3
Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i =
, j = ) называются коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид: а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0 а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0
а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0
и называется однородной.
По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.
Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:
Δ =
Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где
Δх1=
; Δх2= 
; Δх3= 
.Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна.
Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).
Пример. Решить систему уравнений:
Х + 2у – z = 1-3х + у = 2z = 0
х + 4у + 3z = 2
1) Вычислим определитель системы ∆ =
= 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х =
= 5; ∆у = 
= 13; ∆z = 
= 1.3) По формулам Крамера находим решение системы:
Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;
Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).
Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R; (рис.6) 
2) 
