Полный курс лекций по математике (стр. 2 из 14)

Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы равноправны.

Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатам – недоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Янош Бойяй (1802-1860)

Судьба открытия Лобачевского.

В 2004 г. Казанский Государственный Университет будет отмечать 200 летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно связано с Казанским Университетом и составляет его гордость.

Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои идеи, которые излагал в трудах «Начала геометрии», «Воображаемая геометрия» и других. За год до смерти он опубликовал свою работу «Пангеометрия» (1855г.).

Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее – ректор Университета, при нем развернулось строительство Университетского прекрасного архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными математиками того времени. Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое время, но все развитие науки подготовило их неизбежное торжество. Через пятнадцать лет после его смерти его открытие стало общеизвестным и определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из предпосылок глубокого преобразования физических представлений о пространстве и времени.

Тема 3. История развития науки о числе.

Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности используемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне довольствовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел – натуральное множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие как π ,

, и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение «мнимое число» .

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i =

, i² = –1, х и у – вещественные числа

Само число z = x + i y называется комплексным, а i =

, мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.

«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в 1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения х²+x+1=0.

1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения х

= (-1+ )/2 = (-1+i )/2;

х

= (-1- )/2 = (-1-i )/2;

Это уравнение имеет комплексные корни, где i =

.

Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez - называется вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой частного числа, х и у - вещественные числа.

Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3 мнимая часть числа.

2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 - мнимая часть числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.

(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только тогда», необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z

= х +iy , z = х +iy , z = z если х = х и y = y .

4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.

Например, z

= 10+15i, z = 2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.

Определение. Числа z = x + i y и

= x - i y называются комплексно сопряженными.

Например, z = -2 + 3i,

= -2 - 3i

z = 1 – i,

= 1 + i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга, то мы получим новое комплексное число.

Пример 1. Дано z

= -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z + z . Решение z + z = -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е. складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 2 Дано z

= 2 + 3i, z = -1 + i. Найти z - z . Решение z - z = 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е. складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 3 Дано z

= -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z * z . Решение, z * z = (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 i² = - 3 +10 +11 i = 7+ 11 i, надо помнить, что i² = - 1.

Пример 4 Дано z = 2 - i, ,

= 2 + i. Найти z * .