y = f(x)
у
S1 S2 S3
0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в х
Рис.1
Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.
С1 ,С2 ,С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.
S1 = f1(C1) ∆x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х1 = х1-х0,
S2 = f2(C2) ∆x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х2 = х2-х1,
S3 = f3(C3) ∆x3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х3 = х3-х2, S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1)∆x1 + f2 (C2)∆x2 + f3 (C3)∆x3 = Σ f(Ci)∆xi. Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
Понятие определенного интеграла.
Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы Σ f(Ci)∆xi при стремлении max ∆хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается 
, т.е 
= lim Σ f(Сi)∆xi при max ∆xi →0
Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.
Некоторые свойства определенного интеграла.
10 . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
= 
= 
и т.д.20.
есть число.30.
= - , а<b40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
= m , где m – const.50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
60. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.
= 
, Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а; b].
= F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).Например,
- вычислить.1)
Находим первообразную для функции х2, т.е. неопределенный интеграл от х2, произвольную постоянную С приравняем к нулю. 
= x3/3 │ = 1/3 – 0/3 = 1/3 2) Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.
Пример 1. Вычислить 
│= sin π/2 – sin π/6 = 1 – ½ = 1/2 Пример 2. Вычислить 
│ = 22 – 24/4 – [ (-1)2 – ((-1)4/4)] = = 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.
Тема 14. Несобственные интегралы.
Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а; b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом
. Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.
= Ф(х), х ≥ а. Определение.
– называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥), вводится он как предел функции Ф(t) при t ®¥, т.е. 
. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 1. Вычислить 
Решение = lnx │ = lim lnx – ln2 = ∞ - ln2 = ∞. Интеграл расходится. Пример 2. Вычислить 
Решение = 
= x –2/-2 │ = -1/(2x 2) │= -1/2 (lim 1/x2 – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2 Интеграл сходится к ½.
По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].
Определение сходимости
аналогично предыдущему.