Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx
Производные высших порядков.
Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d3y) / (dx3).
производная четвертого порядка уIV = f IV(x) = (d4y) / (dx4).
производная n-oго порядка у(n) = f (n)(x) = (d n y) / (dxn).
Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``.
Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2 +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х.
Пример. y=хsinx. Найти у```.
Решение. y` = sinx + xcosx
y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx
y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.
Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие
F ` (x)=f(x).
Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2 для любых х Є (-∞, ∞).
Действительно, F`(x) = 2x = f(x).
F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:
F2(x) = F1(x) + C,
Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. (
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d(
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.
Таблица неопределенных интегралов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Пример 1. Вычислить
Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой.
= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 - 2
Пример 2.
= 2[(x1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4
Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.
Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.
Например,
Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона - Лейбница.
Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим