Средние линии геометрических фигур (стр. 2 из 2)
Конечно, четыре единичных груза, расположенных на плоскости или в пространстве (в вершинах тетраэдра), можно разбить на две пары тремя способами; центр масс находится посередине между серединами отрезков, соединяющих эти пары точек (рис. 10) — объяснение теоремы 6. (Для плоского четырехугольника полученный результат выглядит так: два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке О и делятся ею пополам).
Через точку О — центр масс четырех одинаковых грузов — проходят еще четыре отрезка, соединяющих каждый из них с центром масс трех других. Эти четыре отрезка делятся точкой О в отношении 3:1. Чтобы объяснить этот факт, нужно сначала найти центр масс трех грузов и потом присоединить четвертый.
4. Тетраэдр, октаэдр, параллелепипед, куб
В начале работы мы рассмотрели треугольник, разбитый средними линиями на четыре одинаковых треугольника (см. рис. 1). Попробуем проделать то же построение для произвольной треугольной пирамиды (тетраэдра). Распилим тетраэдр на части следующим образом: через середины трех ребер, выходящих из каждой вершины, проведем плоский разрез (рис. 11, а). Тогда от тетраэдра будет отрезано четыре одинаковых маленьких тетраэдра. По аналогии с треугольником можно было бы думать, что в серединке останется еще один такой же тетраэдр. Но это не так: у многогранника, который останется от большого тетраэдра после удаления четырех маленьких, будет шесть вершин и восемь граней — он называется октаэдром (рис. 11,6). Удобно проверить это, используя кусок сыра в форме тетраэдра. Полученный октаэдр имеет центр симметрии, поскольку середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в общей точке и делятся ею пополам.
С треугольником, разбитым средними линиями на четыре треугольника, связана одна интересная конструкция: этот рисунок мы можем рассмотреть как развертку некоторого тетраэдра.
Представим себе остроугольный треугольник, вырезанный из бумаги. Перегнув его по средним линиям так, чтобы вершины сошлись в одной точке, и склеив сходящиеся в этой точке края бумаги, мы получим тетраэдр, у которого все четыре грани — равные треугольники; его противоположные ребра равны (рис. 12). Такой тетраэдр называется полуправильным. Каждое из трех «средних сечений» этого тетраэдра — параллелограммов, стороны которых параллельны противоположным ребрам и равны их половинам,— будет ромбом.
Поэтому диагонали этих параллелограммов — три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер — перпендикулярны друг другу. Среди многочисленных свойств полуправильного тетраэдра отметим такое: сумма углов, сходящихся в каждой его вершине, равна 180° (эти углы соответственно равны углам исходного треугольника). В частности, если начать с развертки в форме равностороннего треугольника, мы получим правильный тетраэдр, у которог
В начале работы мы видели, что каждый треугольник можно рассматривать как треугольник, образованный средними линиями большего треугольника. Прямой аналогии в пространстве для такого построения нет. Но оказывается, что любой тетраэдр можно рассматривать как «сердцевину» параллелепипеда, у которого все шесть ребер тетраэдра служат диагоналями граней. Для этого нужно проделать следующее построение в пространстве. Через каждое ребро тетраэдра проведем плоскость, параллельную противоположному ребру. Плоскости, проведенные через противоположные ребра тетраэдра, будут параллельны друг другу (они параллельны плоскости «среднего сечения» — параллелограмма с вершинами в серединах четырех других ребер тетраэдра). Так получаются три пары параллельных плоскостей, при пересечении которых образуется нужный параллелепипед (две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). Вершины тетраэдра служат четырьмя несмежными вершинами построенного параллелепипеда (рис. 13). Наоборот, в любом параллелепипеде можно выбрать четыре несмежные вершины и отрезать от него плоскостями, проходящими через каждые три из них, угловые тетраэдры. После этого останется «сердцевина» — тетраэдр, ребра которого являются диагоналями граней параллелепипеда.
Если исходный тетраэдр полуправильный, то каждая грань построенного параллелепипеда будет параллелограммом с равными диагоналями, т.е. прямоугольником.
Верно и обратное: «сердцевиной» прямоугольного параллелепипеда служит полуправильный тетраэдр. Три ромба — средние сечения такого тетраэдра — лежат в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Они служат плоскостями симметрии октаэдра, полученного из такого тетраэдра отрезанием углов.
Для правильного тетраэдра описанный вокруг него параллелепипед будет кубом (рис. 14), а центры граней этого куба — середины ребер тетраэдра — будут вершинами правильного октаэдра, все грани которого — правильные треугольники. (Три плоскости симметрии октаэдра пересекают тетраэдр по квадратам.)
Таким образом, на рисунке 14 мы видим сразу три из пяти платоновых тел (правильных многогранников) — куб, тетраэдр и октаэдр.
Заключение
Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:
1. Средние линии имеют различные полезные свойства в геометрических фигурах.
2. Одну теорему можно доказать с помощью средней линии фигур, а так же объяснить ее на языке механики – с помощью понятия центра масс.
3. При помощи средних линий можно построить различные планиметрические (параллелограмм, ромб, квадрат) и стереометрические фигуры (куб, октаэдр, тетраэдр и др.).
4. Свойства средних линий помогают рационально решить задачи любых уровней.
Список использованных источников и литературы
1. Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 6 1989 г. с. 46.
2. С. Аксимова. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997 г. с. 526.
3. В.В. Шлыков, Л.Е. Зезетко. Практические занятия по геометрии, 10 кл.: пособие для учителей.- Мн.: ТетраСистемс, 2004 г. с. 68,76, 78.
Приложение
1. Почему средняя линия трапеции не может пройти через точку пересечения диагоналей?
2. BCDA1B1C1D1- параллелепипед. Точки Е и F точки пересечения диагоналей граней . АА1В1В и ВВ1С1С соответственно, а точки К и Т - середины ребер AD и DC соответственно. Верно ли, что прямые EF и КТ параллельны?
3. В треугольной призме АВСА1В1С1 очки О и F середины ребер AB и BС соответственно. Точки Т и К середины отрезков AB1 и ВС1 соответственно. Как расположены прямые ТК и OF?
4. АВСА1В1С1 правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Точка О - середина ребра СС1, а точка F лежит на ребре ВВ] так, что BF : FBX =1:3. Постройте точку К, в которой прямая l, проходящая через точку F параллельно прямой АО, пересекает плоскость ABC. Вычислить площадь полной поверхности призмы, если KF = 1 см.