Локальная формация
Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.
Определение 4.1. Формация

называется
локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.
Определение 4.2. Пусть

– внутренний локальный экран формации

, являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации

. Тогда

называется
максимальным внутренним локальным экраном формации

.
Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация
имеет единственный максимальный внутренний локальный экран
, причем
удовлетворяет следующему условию:
для любого простого числа p. Определение 4.3. Пусть

– локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации

назавем
минимальным локальным экраном формации

.
Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.
Доказательство. Пусть

– множество всех локальных экранов формации

, причем

. Обозначим через

пересечение множества экранов

. В множестве

имеется внутренний экран, поэтому

– внутренний экран формации

. По лемме 3.4 экран

является локальным. Ввиду леммы 3.8

– искомый экран.
Построение локальных формаций
1. Формация всех групп. Формация

обладает локальным экраном

таким, что

для любого простого

.
2. Формация единичных групп. Формация

имеет пустой экран, который, очевидно, локален.
3. Формация нильпотентных

-групп. Пусть

– формация всех нильпотентных

-групп,

– такой локальный экран, что

для любого

для любого

. Очевидно,

– минимальный локальный экран формации

.
4. Формация

-групп. Пусть

– формация всех

-групп,

– такой локальный экран, что

для любого

для любого

. Очевидно,

– макcимальный внутрений локальный экран формации

.
5. Формация

-нильпотентных групп. Пусть

– формация всех

-нильпотентных групп (

– фиксированное простое число),

– такой локальный экран, что

для любого простого числа

, отличного от

. Покажем, что

– экран формации

. Главный ряд

-нильпотентной группы

-централен. Пусть

. Нужно установить, что

-нильпотентна. Пусть

– минимальная нормальная подгруппа группы

. По индукции

-нильпотентна. Если

–

-группа, то отсюда следует, что и

-нильпотентна. Если же

-группа, то

, т.е.

. Если теперь

–

-подгруппа из

, то ввиду

подгруппа

-нильпотентна, а значит, и

-нильпотентна. Тем самым показано, что

.
Теорема 5.1. В любой
-группе
подгруппа
совпадает с пересечением централизаторов в
всех главных
-факторов группы
.