Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 6 из 16)

Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:

Пусть

. Тогда ряд

будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и

-изоморфизмы:

Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;

2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов

является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности , введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы множество формаций линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение является формацией. Тем самым лемма доказана.

Определение 3.2. Экран

назовем:

1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы

и ее силовской p – подгруппы имеет место ;

2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;

3) локальным, если он является локальной групповой функцией;

4) композиционным, если для любой группы

имеет место , где пробегает все крмпозиционные факторы группы

5) пустым, если

для любой неединичной группы ;

6)

-экраном, если

для любой группы .

-экран при будем называть единичным экраном.

Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.

Пример 3.1. Пусть

и – непустые формации, причем , а групповая функция такова, что для каждой нееденичной примарной группы и для любой непримарной группы . Тогда – однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.

Пример 3.2. Пусть

– непустая формация, а групповая функция такова, что для любой нееденичной группы выполняются условия:

1)

, если не имеет абелевых композиционных факторов;

2)

, если имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.

Тогда

– композиционный экран, не являющийся однородным.

Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран

, достаточно каждому простому числу поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает .

Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран

, нужно каждой простой группе поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает все композиционные факторы группы .

Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;

2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;

3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.

Доказательство. Пусть экран

является пересечением множества экранов . Предположим, что все экраны являются локальными, т.е. для любых и имеет место равенство:

где

пробегает все примарные подгруппы группы . Тогда

а значит,

– локальный экран.

Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.

Доказательство. Пусть

– некоторая цепь экранов, – ее объединение, . По лемме 3.3 функция является экраном, причем ясно, что примарная постоянность влечет примарную постоянность экрана . Предположим, что все являются однородными экранами. Тогда, если – любая группа и , то . Следовательно,