Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 5 из 16)
Очевидно, подгруппа
нормализует 
и 
. Обозначим через 
подгруппу группы 
, порожденную подгруппами 
. Поскольку проекции на множители прямого произведения равны 
, то 
. Заметим еще, что 
, где 
нормальна в и нильпотентна как подпрямое произведение из 
.Пусть
– центр подгруппы 
, 
. Легко видеть, что 
, причем 
и поэлементно перестановочны; аналогично, 
и поэлементно перестановочны. Но тогда 
, абелева и нормальна в . Если 
, то 
, где 
, и если 
, то 
, что влечет 
. Следовательно, 
. Если 
абелева, то 
, и мы имеем
Предположим теперь, что
. Ясно, что 
. Так как 
то
нильпотентна ступени 
. Так как 
, то 
изоморфна 
и имеет ступень 
, а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание 
в имеет ступень . Так как нормализует и , то нормальна в 
. Итак, 
, причем 
. По индукции 
Для группы
и ее нильпотентной нормальной подгруппы 
ступени теорема также верна по индукции. Поэтому 
Теорема доказана.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.
Доказательство. Пусть
– подформация формации 
. Если 
, то по теореме 2.3 имеет место 
, что и требуется.Экраны
Недостатком понятия групповой функции
является то, что не всегда уплотнение -центрального ряда нормальными подгруппами является -центральным рядом.Определение 3.1. Отображение
класса 
всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы выполняются следующие условия:1)
– формация;2)
для любого гомоморфизма 
группы ;3)
.Из условия 2) вытекает, что экран
принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией 
.Лемма 3.1. Пусть – экран, 
– группа операторов группы , – некоторая нормальная -допустимая подгруппа из . Если обладает нормальным -допустимым рядом, факторы которого -центральны относительно , то один из таких рядов проходит через .