Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 15 из 16)

Так как формация

имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы при , то мы получаем

Следствие Кегель 13Группа

нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в

попарно взаимно просты.

Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.

Лемма 14Класс всех

-замкнутых групп

-замкнут.

Доказательство такое же, как и у теоремы .

Лемма 15Каждая формация нилъпотентных групп является

-замкнутой.

Доказательство. Пусть

– некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа имеет -подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию группа нильпотентна. Если – наивысшая степень простого числа , делящая , то делит для некоторого , так как не может делить одновременно индексы всех подгрупп , и . Если делит , то силовская -подгруппа из входит в и является силовской -подгруппой группы . Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы являются -группами. Так как – формация, то отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 16Пусть

– некоторый

-замкнутый гомоморф

-замкнутых групп. Тогда класс

-замкнут.

Доказательство. Пусть группа

имеет -подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. По лемме имеет нормальную силовскую -подгруппу . Поскольку является силовской -подгруппой в и – гомоморф, то . В группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. Поэтому ввиду -замкнутости имеем . Лемма доказана.

Лемма 17Для любого простого

и любой формации нильпотентных групп

класс

является

-замкнутой формацией.

Доказательство. По лемме класс

-замкнут. По лемме класс -замкнут и по теореме 1.1 является формацией.

Теорема 18Пусть

– локальная подформация формации

,

– максимальный внутренний локальный экран формации

. Если для любого простого

формация

-замкнута,

, то

-замкнута.

Доказательство. Пусть

. Ввиду теоремы 3.3 и леммы 4.5 , . Формация -замкнута. По лемме формация -замкнута. Теорема доказана.

Теорема Крамер 19Любая локальная подформация формации

является

-замкнутой.

Доказательство. Пусть

– локальная подформация формации . имеет внутренний локальный -экран . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Тогда по теореме 3.3 для любого простого имеет место равенство . Так как , то по лемме формация -замкнута. Тогда по теореме формация -замкнута. Теорема доказана.