Локальные формации с метаабелевыми группами (стр. 14 из 16)

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп

называется

-замкнутым ( – натуральное число), если содержит всякую группу , имеющую -подгрупп, индексы которых в при попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация

-замкнута для любого . Единственной -замкнутой непустой формацией, отличной от , условимся считать .

Лемма 10Пусть

и

–

-замкнутые классы групп. Тогда

также

-замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11Пусть формация

содержится в

и

-замкнута,

. Тогда формация

является

-замкнутой.

Доказательство. Пусть группа

имеет -подгруппы , ,…, , индексы которых в попарно взаимно просты. Так как , то по теореме группа разрешима. При любом гомоморфизме группы образы подгруппы принадлежат и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что -корадикал группы является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что является -группой для некоторого . Подгруппа Фиттинга группы также является -группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей , делится на . Поэтому содержится по крайней мере в подгруппах нашей системы подгрупп . Будем считать, что , . Так как является -группой, то и поэлементно перестановочны, . Отсюда и из следствия вытекает, что , . Так как , то мы получаем, что , . Воспользовавшись -замкнутостью формации , мы приходим к тому, что .

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12Пусть

– такой локальный

-экран формации

, что для любого простого

формация

-замкнута,

. Тогда

-зaмкнута.

Доказательство. Так как

– -экран, то для любого простого , а значит, . Пусть . Ввиду леммы 4.5 . Если , то и -замкнута; если же , то по лемме формация -замкнута. В любом случае -замкнута. По лемме -замкнута. Применяя лемму , мы видим, что и формация -замкнута. Теорема доказана.