Линейные дифференциальные уравнения (стр. 8 из 11)
(6.13)где [u, v](ti) – значение [u, v] при t = ti.
Доказательство. Следует проинтегрировать тождество (6.11) в пределах от t1 до t2 .
Если ψ – известное решение уравнения
на I, то в силу (6.11) отыскание решения Lnх = 0 сводится к отысканию функции φ, удовлетворяющей уравнению (n-1)-го порядка 
Неоднородное линейное уравнение порядка n. Предположим, что на действительном t-интервале Iа0
0, а1, …, аnи b – непрерывные функции, и рассмотрим уравнение 
,которое совпадает с уравнением
Это уравнение (в случае b(t)
0) называется неоднородным линейным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система имеет вид 
, (6.14)где А – матрица (6.2) и
- вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме последнего, который равен b/а0. Таким образом, соответствующая уравнению Lnх = b(t) система (6.14) есть линейная неоднородная система; существование и единственность решения для системы (6.14) обеспечивает, как обычно, существование и единственность решения для уравнения Lnх = b(t).Теорема 6.4. Если φ1, …, φn– фундаментальное множество для однородного уравнения
( 
на I),то решение ψ неоднородного уравнения
Lnх = b(t) (
на I),удовлетворяющее условию
( 
, |ξ| < 
),имеет вид
(6.15)где
- решение уравнения Lnх = 0, для которого 
, и Wk(φ1, …, φn) –определитель, получаемый из W(φ1, …, φn) в результате замены k-го столбца на (0, …, 0, 1).Доказательство. В силу (3.1) первая компонента ψ = ψ1 вектора-решения
системы (6.14), для которого 
= 0, имеет вид 
где
- элемент, находящийся на пересечении первой строки и n-го столбца матрицы Ф(t)Ф-1(s). Напомним, что на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Ф(t) стоит элемент 
и что det Ф(t) = W(φ1, …, φn)(t). Далее, на пересечении i-й строки и n-го столбца матрицы Ф-1 стоит элемент 
где
- алгебраическое дополнение элемента 
в Ф. Поэтому 
где Wk(φ1, …, φn)(s) определен в формуле теоремы. Таким образом, решение ψ уравнения Lnх = b(t) , удовлетворяющее условию
= 0, имеет вид 
и очевидно, что (6.15) дает решение, удовлетворяющее условию
, если .Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Рассмотрим тот случай, когда в Lnвсе коэффициенты а0 = 1, а1, …, аn – постоянные. В этом случае можно предполагать, что I есть вся числовая ось. Далее, уравнению
(6.16)соответствует система
(6.17)где А – постоянная матрица
(6.18)Можно предполагать, что для (6.16) можно указать фундаментальное множество решений, и точный вид этих функций зависит от характеристического многочлена f(λ) = det (λE - A) постоянной матрицы А в (6.18).
Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в (6.18) имеет вид
f(λ) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn. (6.19)
Заметим, что f(λ) может быть получено из Ln(х) формальной заменой х(k) на λk.
Доказательство проводится по индукции. Для n = 1 А = - а1; значит det(λE1 - A) = λ + а1 и, следовательно, (6.19) верно для n = 1. Предположим, что результат справедлив для n – 1. Разложим определитель
det(λEn - A) =
по элементам первого столбца и заметим, что коэффициент при λ есть определитель (n-1)-го порядка, именно det(λEn-1 – A1), где
Поэтому λdet(λEn-1 – A1) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn--1λ. Единственный другой ненулевой элемент в первом столбце есть аnи его алгебраическое дополнение равно 1. Поэтому det(λEn – A) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn--1λ + аn, что и требовалось доказать.
Теорема 6.5 (без доказательства). Пусть λ1, …, λn- различные корни характеристического уравнения
f(λ) = λn+ а1 λn-1 +…+ аn = 0
и пусть кратность корня λiравна mi(i = 1, …, s ). Тогда фундаментальное множество для (6.16) дается n функциями
tkeλi (k = 0, 1,…, mi – 1; i = 1, 2,…, s). (6.20)
2.2 Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами
Предположим, что А – квадратная матрица порядка n и b – n-мерный вектор, определенные и аналитические в односвязной области D z-плоскости, и пусть
. Используя метод последовательных приближений, нетрудно показать, что линейная система 
(7.1)при условии
имеет в D единственное аналитическое решение
.В самом деле, пусть
и пусть С – дуга длины L, лежащая в D, соединяющая точки z0 и z1 и имеющая непрерывно вращающуюся касательную. Обозначим через s длину дуги вдоль С, начиная от точки z0. Выберем постоянную К настолько большой, чтобы было | A(z) | < K и | 
| < K для 
. Пусть 
и 
причем интеграл берется вдоль С, так что приближения
определены на С. Нетрудно получить оценки 
Очевидно, эти оценки справедливы для всех точек z в D, достижимых из z0 другой длины L, на которой |A(z)| и |
| ограничены постоянной K. Отсюда следует, что эти оценки справедливы в каждом фиксированном множестве R, содержащемся в D. Так как каждая функция аналитична в R, то из равномерной сходимости следует, что предельная функция также аналитична в R. Далее, 
Это доказывает утверждение для R и, следовательно, для D.