Линейные дифференциальные уравнения (стр. 2 из 11)
содержит лишь конечное число членов и поэтому сходится. Положим, по определению, сумму этого ряда, который на самом деле является многочленом от
, равной 
Таким образом,
есть многочлен от
. С другой стороны. Из тождества 
(|x| < 1)
следует после приведения справа подобных членов, коэффициенты при хk, k
2, равны нулю, а коэффициент при х равен единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому 
Отсюда легко получаем, что Аj можно представить в виде
Пользуясь тем, что для каждой матрицы М
(PMP-1)k = PMkP-1 (k = 1, 2, …),
нетрудно видеть, что
Отсюда следует, что результат, полученный для канонической матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В самом деле, если J = eA и B = PJP-1, то В =
, где 
= PАP-1. естественно, что матрица А не единственна.Если Ф – произвольная квадратная матрица порядка n из функций, определенная на действительном i-интревале I (элементы матрицы могут быть действительными или комплексными функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой ли аналитической на I, если все элементы Ф соответственно непрерывны, дифференцируемы или аналитичны на I. Если Ф на I дифференцируема, то через
обозначается произвольная матрица. Заметим, что если матрицы Ф, Ψ дифференцируемы, то 
(1.5)и, вообще говоря,
.Если в точке t производная матрица
(t) существует и матрица Ф – неособая, то матрица Ф-1 в точке t дифференцируема. Это следует из равенства 
где
, а 
- алгебраические дополнения элементов 
. Из равенств (1.5) и Ф Ф-1=Е следует, что 
(1.6)Если матрица А на t-интервале Iнепрерывна и Ф удовлетворяет уравнению
(t) = А(t)Ф(t), то 
(1.7)а в интегральной форме
(1.8)1.2 Линейные однородные системы
Пусть А – непрерывная квадратная матрица порядка n, элементами которой служат непрерывные комплексные функции, определенные на t-интервале I. Линейная система
(ЛО)Называется линейной однородной системой порядка n. Для любого ξ и для τ
I существует единственное решение φ системы (ЛО) на интервале I, удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. Замечание: если каждый элемент матрицы А измерим на I и 
, (*)где m интегрируема по Лебегу на I, то существует единственное решение φ системы (ЛО), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. В дальнейшем будем полагать, что для А выполняется по крайней мере условие (*).
Нулевая вектор-функция на I является решением системы (ЛО). Это решение называется тривиальным. Если решение системы (ЛО) равно нулю для некоторого
, то в силу теоремы единственности оно равно нулю тождественно на I.Теорема 2.1. Множество всех решений системы (ЛО) на интервале I образует n-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел.
Доказательство. Если φ1 и φ2 – решения (ЛО) и с1 , с2 – комплексные числа, то с1φ1 + с2φ2 также является решением (ЛО). Это показывает, что решения образуют векторное пространство.
Чтобы доказать, что это пространство n-мерно, следует показать, что существует n линейно зависимых решений φ1 , φ2 , …, φn , таких, что каждое другое решение системы (ЛО) есть линейная комбинация (с комплексными коэффициентами) этих φi . Пусть ξi , i=1, 2, …, n – линейно независимые векторы n-мерного х-пространства. Например, за ξiможно взять вектор со всеми компонентами, равными нулю, кроме i-й, которая равна 1. Тогда, по теореме существования, если
, то существуют решения φi, i=1, 2, …, n, системы (ЛО), для которых φi(τ) = ξi . Покажем, что эти решения удовлетворяют поставленному выше условию.Если бы решения φi были линейно зависимы, то существовали бы n комплексных чисел , не равных одновременно нулю и таких, что
.Отсюда следует равенство
противоречащее предположению о том, что векторы ξi линейно независимы.
Если φ – некоторое решение (ЛО) на I, такое, что φ(τ)=ξ , то можно найти (единственным образом определенные) постоянные сi , удовлетворяющие равенству
,ибо векторы ξiобразуют базис n-мерного х-пространства. Поэтому функция
есть решение (ЛО), принимающее при t = τ значение ξ, и, следовательно, в силу теоремы единственности
Итак, каждое решение φ есть (единственная) линейная комбинация φi и теорема 2.1 полностью доказана.
Всякое множество φ1 , φ2 , …, φnлинейно зависимых решений системы (ЛО) называется базисом или фундаментальным множеством решений системы (ЛО).
Если Ф – матрица, n столбцов которой являются n линейно независимыми решениями (ЛО) на I, то Ф называется фундаментальной матрицей системы (ЛО). Очевидно, Ф удовлетворяет матричному уравнению
. (2.1)Под матричным дифференциальным уравнением, соответствующим системе (ЛО) на I, подразумевается задача отыскания квадратной матрицы Ф порядка n, столбцы которой являются решениями системы (ЛО) на I. Эта задача обозначается так:
. (2.2)Матрица Ф называется решением задачи (2.2) на I, и Ф удовлетворяет уравнению (2.1). Из теоремы 2.1. следует, что зная фундаментальную матрицу системы (ЛО), которая является, разумеется, частным решением уравнения (2.2), мы будем знать полную систему решений системы (ЛО).
Теорема 2.2. Для того, чтобы решение-матрица уравнения (2.2) была фундаментальной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы det Ф(t)
0 для 
.Замечание. Если det Ф(t)
0 для некоторого , то в силу (1.8) det Ф(t) 0 для всех t.Доказательство теоремы 2.2. Пусть Ф – фундаментальная матрица, столбцами которой являются векторы φj , и пусть φ – некоторое нетривиальное решение системы (ЛО). В силу теоремы 2.1 существуют единственным образом определенные постоянные с1 , с2 , …, сn , не равные все нулю и такие, что
