Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 5 из 11)

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть

--- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме ,

.

Так как

-субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему:

Докажем 2). Пусть

и . Допустим, что не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как -замкнута, то . Поэтому -субнормальна в . Теперь ясно, что -субнормальна в . Лемма доказана.

Пусть

--- насыщенная

-замкнутая формация,

--- группа с нормальной силовской

-подгруппой

, удовлетворяющая следующим условиям:

1)

;

2) холлова

-подгруппа

-группы

является максимальной в

и принадлежит

;

3) любая собственная подгруппа из

-субнормальна в

.

Тогда

является минимальной не

-группой.

Доказательство. Из условия прямо следует, что

совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда . Так как -замкнута, то . Подгруппа является собственной в и по условию -субнормальна в . По теореме ,

.

Итак, каждая максимальная подгруппа из

принадлежит . Лемма доказана.

2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой

-субнормальных подгрупп

В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой

-субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Пусть далее

--- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.

Пусть

--- произвольная насыщенная

-замкнутая формация,

---

-дисперсивная группа с плотной системой

-субнормальных подгрупп, не принадлежащая

, у которой все

-абнормальные максимальные подгруппы принадлежат

. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1)

--- максимальная подгруппа в

;