Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 4 из 11)

Пусть

--- непустая

-замкнутая насыщенная формация,

--- подгруппа группы

. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

;

2) если

-субнормальна в

и

является подформацией формации

, то

-субнормальна в

.

Доказательство. 1) Из того, что

следует, что

. Это значит, что .

2) Так как

, то и . Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть

--- непустая

-замкнутая насыщенная формация. Если множество всех

-субнормальных подгрупп плотно в группе

, то справедливы следующие утверждения:

1) если

, то в

множество всех

-субнормальных подгрупп плотно;

2) если

--- подгруппа из

, то множество всех

-субнормальных подгрупп из

является плотным в

.

Доказательство. 1) Пусть

--- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы , из которых первая не максимальна во второй. Тогда и не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Следовательно, -субнормальна в .

2) Пусть

--- подгруппа из и --- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа , для которой . Ввиду леммы, -субнормальна в . Лемма доказана.

Если

---

-субнормальная подгруппа группы

, то

.

Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что

является -нормальной максимальной подгруппой в при любом . Таким образом, и потому

для каждого

. Следовательно, .

Пусть

--- непустая

-замкнутая насыщенная формация,

--- группа, у которой множество всех ее

-субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:

1) если

---

-абнормальная максимальная подгруппа группы

, то либо

, либо каждая

-абнормальная максимальная подгруппа из

принадлежит

;

2) если

и

, то

либо максимальна в

, либо

-субнормальна в

.