Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 10 из 11)

Пусть

--- непустая

-замкнутая насыщенная формация,

--- группа, в которой множество всех

-субнормальных подгрупп плотно,

. Тогда

--- группа одного из следующих типов:

1)

,

,

;

2)

,

,

максимальна в

,

,

;

3)

,

,

.

Доказательство. По лемме,

разрешима. Так как , то ясно, что . Положим и рассмотрим холлову -подгруппу группы . Если единичная подгруппа не является максимальной в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . По лемме , и, значит, --- -группа. Получили противоречие. Таким образом, равен либо 1, либо является простым числом.

Рассмотрим теперь холлову

-подгруппу группы . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа из . Пусть , . Если 1 не максимальна в , то между 1 и можно вставить -субнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме , является -числом. Понятно, что этот индекс делится на . Получаем противоречие. Значит, равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.

Если

, то ясно, что либо типа 1), либо типа 3). Пусть --- простое число. Если --- простое число, то --- группа типа 1). Пусть , где --- простые числа. Предположим, что в существует подгруппа порядка . Так как 1 не максимальна в , то между 1 и существует, по условию, -субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, является -числом. Но этот индекс делится и на . Остается принять, --- максимальная подгруппа группы . Но тогда и --- группа типа 2). Теорема доказана.

Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.

Пусть

--- такая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп, что не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть --- любое простое число, не входящее в . Тогда всякая группа порядка , где --- любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка или является группой типа 3) теоремы. Предположим, что и существует такое простое число , что и (в частности, можно взять и ). В сплетении группы порядка с группой порядка возьмем подгруппу Шмидта . Тогда имеет порядок и является группой типа 2) теоремы.

Заключение

В данной работе рассматривались конечные группы с плотной системой

-субнормальных подгрупп, где --- произвольная -замкнутая насыщенная формация. В первом разделе данной главы установлены общие свойства, которые могут быть использованы для изучения строения конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп. Во втором разделе исследуются свойства максимальных подгрупп в конечных группах с плотной системой -субнормальных подгрупп. В частности, установленно, что в -дисперсивной группе с плотной системой -субнормальных подгрупп каждая -абнормальная максимальная подгруппа либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. В третьем разделе данной главы описаны конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случае, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация и .