Предположим, что

--- типа 2). Пусть

--- произвольная собственная подгруппа из

. Так как

не максимальна в

, то существует

-субнормальная в

подгруппа

такая, что

. Подгруппа

будет

-субнормальна в

. Поэтому и

будет

-субнормальна в

. По теореме,

, т.е.

. Таким образом, каждая собственная подгруппа из

-нильпотентна, а значит,

--- группа Шмидта, в которой

--- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.
Итак,

---группа типа 3), т.е.

,

--- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в

, силовская

-подгруппа

из

циклическая и

. Если

-субнормальна в

, то, по теореме,

нильпотентна и, значит,

, что невозможно. Значит,

не

-субнормальна в

. Если

не максимальна в

, то, по условию, в

найдется

-субнормальная подгруппа

такая, что

. Получается, что

--- нормальная подгруппа

-субнормальной разрешимой

-подгруппы

, а потому

будет

-субнормальной в

. Итак,

максимальна в

, а значит,

. Пусть

--- силовская

-подгруппа из

, являющейся дополнением к

в

, очевидно,

. Так как

не максимальна в

, то

для некоторой

-субнормальной подгруппы

из

. Тогда

. Так как

, то мы видим, что

не содержится в

. Ввиду леммы ,

-абнормальные максимальные подгруппы

-абнормальных максимальных подгрупп из

принадлежат

, поэтому, по теореме, имеем

. Получается, что

. Вспоминая, что

--- минимальная нормальная подгруппа в

, мы получаем, что содержащаяся в

минимальная нормальная подгруппа группы

совпадает с

, либо с

. Случай

не возможен, так как

и

не

-нильпотентна. Значит,

. Рассмотрим

-нильпотентную подгруппу

. По условию,

содержится в некоторой подгруппе из

, которая

-субнормальна в

. Так как

, то

будет

-абнормальна в

, а значит, и в

. Тогда, по теореме ,

-нильпотентна, что противоречит тому, что

не

-нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.