Пусть

--- некоторая

-замкнутая насыщенная

-нильпотентная формация,

--- группа c плотной системой

-субнормальных подгрупп,

и каждая

-абнормальная максимальная подгруппа из

-нильпотентна. Тогда

либо является

-нильпотентной

-группой, либо группой одного из типов:
1)

--- группа Шмидта и

;
2)

, силовская

-подгруппа

является минимальной нормальной подгруппой в

;
3)

,

, где

--- минимальная нормальная подгруппа в

,

,

циклическая,

.
Доказательство. Пусть

не является

-нильпотентной

-группой. По лемме,

разрешима. Пусть

--- формация всех

-нильпотентных групп. Так как

, то каждая

-абнормальная максимальная подгруппа является

-абнормальной, а значит, ввиду условия, и

-нильпотентной. По тереме ,

---

-группа, и теперь мы применяем лемму в случае

. Лемма доказана.
Пусть
--- некоторая
-замкнутая насыщенная
-нильпотентная формация,
--- не
-нильпотентная группа c плотной системой
-субнормальных подгрупп и
. Тогда любая
-абнормальная максимальная подгруппа из
либо
-нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено. Доказательство. По лемме,

разрешима. Пусть

--- не

-нильпотентная

-абнормальная максимальная подгруппа группы

. По лемме, множество всех

-субнормальных подгрупп в

плотно. По лемме, каждая

-абнормальная максимальная подгруппа из

принадлежит

. По теореме,

---

-группа. Значит,

--- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем

обозначает формацию всех

-нильпотентных групп. Пусть

--- группа типа 1), т.е.

--- группа Шмидта с нормальной силовской

-подгруппой

и

. Тогда

не максимальна в

. По условию, в

имеется

-субнормальная подгруппа

такая, что

. Кроме того,

. Получается, что

-субнормальна в

, а значит, и в

. По теореме,

, что невозможно. Итак,

либо типа 2), либо типа 3) из леммы.
1.

,

. Тогда холлова

-подгруппа

группы

строго содержит некоторую

.