Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 7 из 21)

1.2.

не является силовской -подгруппой в . Тогда и Таким образом, является минимальной нормальной подгруппой в . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа нормальна в и не -нильпотентна. Подгруппа содержится в и характеристична в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то --- силовская -подгруппа из . Пусть --- такая строго содержащая подгруппа из , что максимальна в . Из равенства следует, что не является -нильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в , а значит, и в . Теперь по лемме, --- минимальная не -группа, т.е. --- группа Шмидта. Таким образом, --- циклическая -группа, . Так как , то . Лемма в этом случае доказана.

2.

. Таким образом, --- дополнение к подгруппе , которая является в этом случае силовской подгруппой в и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа из -субнормальна в , то по лемме, является группой Шмидта, т.е. --- группа типа 3).

Предположим, что

не является группой Шмидта. Тогда в имеется не -нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа , холлова -подгруппа которой входит в , принадлежит и, ввиду теоремы, не является -субнормальной в (в противном случае, по теореме, подгруппа была бы -нильпотентной). Выберем в такую подгруппу , что и максимальна в . Допустим, что в имеется -субнормальная в подгруппа , не содержащаяся в . Тогда, по теореме, , т.е. . Тогда содержит и , т.е. . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то . Любая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в . Теперь по лемме, примененной к , получаем, что --- минимальная не -группа. Таким образом, --- группа Шмидта. Значит, --- примарная циклическая группа. Так как разрешима и --- минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что --- группа типа 2).

Итак, каждая подгруппа из

, -субнормальная в , содержится в . Пусть --- простой делитель индекса . Силовская -подгруппа из не входит в и потому не является -субнормальной в . Поэтому по лемме, максимальна в . Отсюда следует, что . Лемма доказана.