Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 5 из 21)

2.2. Итак, пусть теперь каждая

-нормальная максимальная подгруппа группы является -нильпотентной -группой. Тогда оказывается -группой, а ее -корадикал -нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что имеет -абнормальную максимальную подгруппу , которая не является -нильпотентной. По предположению, разрешима. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, является -группой для некоторого простого числа . Если , то -нильпотентна, противоречие. Таким образом, , т.е. есть -группа. Выберем в подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: 1) --- степень простого числа; 2) не является -группой; 3) не максимальна в . По условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . По теореме , , а потому мы имеем . Так как не -нильпотентна, то мы получаем, что не является -группой. Мы видим, что в существует силовская -подгруппа такая, что максимальна в , и . Если нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы и , которые, как мы доказали, централизуют . Отсюда следует, что и централизует , что невозможно. Следовательно, --- циклическая максимальная подгруппа в . Группа у нас -разрешима. Будем считать, что содержится в холловой -подгруппе группы . Если максимальна в , то учитывая, что циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа разрешима. Но тогда и разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как , мы получаем, что -субнормальна в . По теореме , . Снова получили противоречие. Лемма доказана.