Доказательство. Пусть

--- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как

неразрешима, то она имеет подгруппу

порядка

, где

--- простое число. По условию,

имеет

-субнормальную подгруппу

такую, что

делит

. Поэтому в

существует максимальная подгруппа, содержащая

. Таким образом,

.
По лемме, множество всех

-субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы

. Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы

. Так как класс всех разрешимых групп и класс всех

-нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что

. Очевидно,

имеет минимальную нормальную подгруппу

, содержащуюся в

.
1. Рассмотрим случай

. Допустим, что

неразрешима. Тогда

содержит подгруппу

порядка

, где

. Так как 1 не максимальна в

, то в

существует

-субнормальная подгруппа

такая, что

. По лемме,

есть

-число. Мы получаем, что

и

, т.е.

оказывается

-нильпотентной

-группой. Противоречие. Следовательно,

разрешима.
Ввиду леммы , лемма верна для

. Значит,

либо разрешима, либо является

-нильпотентной

-группой. Так как

, то мы видим, что лемма верна и для

.
2. Теперь рассмотрим случай

. Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы

. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы

либо разрешима, либо является

-нильпотентной

-группой.
2.1. Предположим, что

содержит разрешимую

-нормальную максимальную подгруппу. Тогда

разрешима, а

--- неразрешимая

-нильпотентная

-группа. Из

следует, что

является

-группой для некоторого простого

.
Предположим, что

и

. Так как

неразрешима, то

имеет подгруппу

порядка

, где

. По условию, в

существует

-субнормальная подгруппа

такая, что

. Так как

---

-группа, а по лемме, индекс

является

-числом, то мы получаем, что

---

-нильпотентная

-группа. Противоречие.
Случай

и

невозможен, так как

--- неразрешимая

-нильпотентная

-группа. Поэтому остается рассмотреть случай

. Но тогда

является

-разрешимой

-группой. Так как

неразрешима, то в холловой

-подгруппе

из

найдется нециклическая силовская подгруппа

. Пусть

--- произвольная максимальная подгруппа из

. Тогда

не максимальна в

. По условию, в

существует

-субнормальная подгруппа

такая, что

. Обозначим через

формацию всех

-нильпотентных групп. По лемме,

-субнормальна в

. Теперь по теореме, мы имеем

. Следовательно,

, а значит,

централизует

. Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из

централизует

. Так как

не принадлежит

, то

не централизует

. Итак, в

имеется циклическая силовская подгруппа

, которая не централизует

. Ввиду теоремы,

не максимальна в

. Теперь, применяя к

те же рассуждения, что и для

, получаем, что

централизует

. Пришли к противоречию.