Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 15 из 21)

Пусть

--- группа простого порядка . Тогда имеет порядок , и можно подобрать так, что в ней найдется подгруппа порядка , где и --- различные простые числа. Рассмотрим группу . Подгруппа будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы и --- максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа --- группа типа .

Пусть

--- непустая

-замкнутая насыщенная

-нильпотентная формация,

--- не

-нильпотентная

-группа, у которой множество всех

-субнормальных подгрупп плотно. Тогда

является группой одного из типов

для некоторого

.

Доказательство. Пусть

не -нильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1, разрешима.

1. Допустим, что

обладает не -нильпотентной -абнормальной максимальной подгруппой . По лемме, --- бипримарная группа Миллера-Морено, а значит, . Заметим еще, что , где --- минимальная нормальная подгруппа в .

1.1. Рассмотрим вначале случай

. Тогда есть степень либо простого , либо . Пусть . Пусть ---силовская -подгруппа из , содержащая . Если не максимальна в , то , где --- некоторая -субнормальная в подгруппа. Тогда -субнормальна в , а значит, и в (напомним, что из следует, что ). Но тогда, по теореме, , противоречие. Значит, и . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как -абнормальна, то, по лемме, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому ясно, что не может быть -замкнутой группой. Таким образом, -нильпотентна. Если , то из и из условия вытекает, что существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то , что противоречит равенству . Итак, мы должны рассмотреть только случай . Подгруппа является циклической и максимальна в . Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа из нормальна в . Пусть ---минимальная нормальная подгруппа в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то --- -группа, не входящая в , а значит, . Так как максимальна и не нормальна в , то . Ясно теперь, что , а значит, нормальна в . Таким образом, получается, что , что противоречит равенству . Итак, теперь надо рассмотреть случай , т.е. --- силовская -подгруппа в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Допустим, что силовская -подгруппа из не равна 1. Так как , то . Тогда -нильпотентна, а значит, силовская -подгруппа из содержится в . Но это противоречит равенству . Итак, . По теореме Бернсайда, -нильпотентна и, значит, --- силовская -подгруппа в . Максимальная подгруппа из не максимальна в , поэтому для некоторой -субнормальной в подгруппы . Так как --- абелева -группа, то . Значит, оказывается -субнормальной в . По теореме, . Мы получаем, что --- группа типа .