Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 11 из 21)

2.1.

, . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то . По теореме Машке, , где . Так как , то -главные факторы и центральны. Но тогда и содержатся в . Если , то из вытекает, что , а это противоречит тому, что --- -эксцентральный главный фактор в . Значит, . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа не максимальна в , поэтому , где --- некоторая -субнормальная подгруппа из . Так как , то не может быть -субнормальной в . Поэтому . Из максимальности в выводим, что совпадает либо с , либо с . В обоих случаях . Отсюда и из -субнормальности подгруппы следует, что -субнормальна в , и мы приходим к противоречию.

2.2.

, . Так как , то главные факторы и изоморфны, откуда выводим, что содержится в . Но тогда --- неединичная подгруппа из , что невозможно, так как -эксцентральна. Получили противоречие.

2.3.

. Так как , то из следует, что , а это противоречит минимальности в . Поэтому остается принять, что . Это означает, что -нильпотентна. Но была выбрана ранее так, что не -нильпотентна. Снова получили противоречие.

Таким образом, в

нет максимальных подгрупп таких, что не -нильпотентна. Получается, что --- минимальная не -нильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой , т.е. --- группа Миллера-Морено.