2.

. Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для

-абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью

, утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности:

--- либо типа 2), либо типа 3) из леммы.
Рассмотрим сначала случай, когда

типа 2), т.е.

, силовская

-подгруппа из

совпадает с

и является минимальной нормальной подгруппой в

. Ясно, что

содержит силовскую

-подгруппу

группы

, а

нормальна в

; а кроме того, холлова

-подгруппа

из

является холловой

-подгруппой в

. Подгруппа

является

-абнормальной максимальной подгруппой в

; кроме того,

--- холлова

-подгруппа в

. Если

--- любая

-абнормальная максимальная подгруппа из

, не сопряженная с

, то индекс

не делится на

. Но тогда

---

-абнормальная максимальная подгруппа в

с индексом, не делящимся на

. По доказанному,

либо

-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что

. Заметим, что

. Если

---

-замкнутая группа Миллера-Морено, то

--- минимальная нормальная подгруппа в

и, значит,

, что невозможно. Таким образом, в

все

-абнормальные максимальные подгруппы

-нильпотентны. По теореме,

---

-группа. Вспоминая, что

, получаем

. Допустим, что в

имеется максимальная подгруппа

такая, что

не

-нильпотентна. По теореме,

не

-субнормальна в

. Так как

не максимальна в

, то

для некоторой собственной

-субнормальной подгруппы

из

. Значит,

. Подгруппа

максимальна в

и содержится в

. Поэтому

. Так как

и

, то

является собственной

-субнормальной подгруппой в

, и поэтому

является собственной подгруппой в

. Так как

не

-нильпотентна, то

. Подгруппа

содержится в некоторой

-абнормальной максимальной подгруппе

из

. По индукции,

либо

-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что

--- группа Миллера-Морено. Тогда

, где

максимальна в

, а

--- минимальная нормальная подгруппа в

. Так как

и

, то

, что невозможно, так как

--- собственная подгруппа в

. Значит,

-нильпотентна и, более того, принадлежит

. Если

не максимальна в

, то, по условию,

, где

-субнормальна в

. Но тогда

-субнормальна в

, что невозможно. Таким образом,

максимальна в

и, значит,

, где

. Так как

и

максимальна в

и имеет силовскую

-подгруппу

порядка

, то

--- максимальная нормальная подгруппа в

, а значит,

--- тоже элементарная абелева

-группа.