Произведение двух групп (стр. 8 из 16)

Значит,

, поэтому не содержит инвариантных в подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы подстановками смежных классов по подгруппе точное степени 4. Отсюда группа есть группа диэдра порядка 8.

Таким образом, силовская 2-подгруппа

в группе есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой факторизации, то группа - из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп

при условии, что - 2-разложимая группа, а в группе существует циклическая подгруппа индекса .

2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы

, допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.

В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы

при условии, что факторы и содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а -длина равна 1 для любого нечетного . Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы . Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.

Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности,

- множество простых делителей порядка , a - циклическая группа порядка .

Лемма 1 . Метациклическая группа порядка

для нечетного простого неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка .

Доказательство. Допустим противное и пусть

- метациклическая группа порядка , разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка , - нечетное простое число. Ясно, что неабелева. Если содержит нормальную подгруппу порядка с циклической фактор-группой , то содержится в центре и абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно, содержит циклическую подгруппу индекса и подгруппа , порожденная элементами порядка , является элементарной абелевой подгруппой порядка по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь , и подгруппы порядка не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.

При

утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.

Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.

Доказательство. Пусть

- конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга . Так как , то как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому сверхразрешима.