Произведение двух групп (стр. 7 из 16)

Таким образом,

- силовская 2-подгруппа группы . Теперь, и - максимальная в подгруппа. Представление подстановками смежных классов по дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра нечетен. Отсюда следует, что - абелева группа.

Пусть

- минимальная инвариантная в подгруппа. Группа не является -группой, поэтому некоторая силовская в подгруппа циклическая и - простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок , a , то изоморфна , где или . Фактор-группа разрешима, поэтому и изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3 . Пусть группа

- контрпример минимального порядка, - циклическая подгруппа в и , где . Пусть , где - силовская 2-подгруппа , а - ее 2-дополнение в . Если - силовская 2-подгруппа , то и разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь можно считать силовской 2-подгруппой группы .

Предположим, что

. Фактор-группа и - 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа нечетного порядка инвариантна в и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и . Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что , получаем: группа изоморфна подгруппе , содержащей для некоторых . Противоречие. Следовательно, в нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.

Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа

является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если , то , и так как неразрешима, то диэдральная. Пусть не содержится в .

Предположим, что

и пусть , где - инволюция из . Теперь и . Пусть вначале и максимальна в . Тогда - дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе : если - простое число; если - непростое число. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие. Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда и . Кроме того, . Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа, которая содержится в , существует по лемме Чунихина, а так как , то , а следовательно, и неразрешимы. По индукции изоморфна подгруппе , содержащей , для некоторых . Все инвариантные в подгруппы неразрешимы, поэтому , а так как - минимальная инвариантная в подгруппа, то . B силу леммы 5 , поэтому разрешима. Но тогда и изоморфна группе автоморфизмов группы , т. е. из заключения теоремы. Противоречие.