Произведение двух групп (стр. 6 из 16)

Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа

- контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая -группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть - произвольная минимальная инвариантная в подгруппа. Если , то , а так как - нильпотентная группа, то разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, , в частности, разрешима. Допустим, что . Тогда и удовлетворяет условиям леммы. Поэтому изоморфна подгруппе группы , содержащей для подходящего . Так как есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то и . Отсюда . Подгруппа инвариантна в так как , то разрешима и . Теперь изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Значит, .

Таким образом, если

- произвольная инвариантная в подгруппа, то .

Пусть

, - инвариантная силовская -подгруппа, - силовская -подгруппа. Через обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае и если - подгруппа индекса 2 в , то - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в есть инвариантная подгруппа четного индекса, то есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно,

и в нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что

, тогда - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа из является силовской подгруппой в и по результату В. Д. Мазурова группа диэдральная или полудиэдральная. Если диэдральная, то по теореме 16.3 группа изоморфна или подгруппе группы . Так как не допускает требуемой факторизации, то следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит, - полудиэдральная группа. Если - центральная инволюция из , то , поэтому и разрешима. По теореме Мазурова группа изоморфна или . Нетрудно проверить, что и не допускают требуемой факторизации. Значит, .

Пусть

- максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда, если , то и содержит подгруппу , инвариантную в по лемме Чунихина. В этом случае, и . Противоречие. Следовательно, .

Допустим, что

не является силовской 2-подгруппой в . Тогда немаксимальна в , а так как и , то по лемме 2 порядок нечетен. Теперь и содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.