Произведение двух групп (стр. 5 из 16)

Предположим, что порядки групп

и делятся одновременно на нечетное простое число и пусть и - силовские -подгруппы из и соответственно. Так как инвариантна в , a инвариантна в , то и - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь и , а так как инвариантна в , a разрешима, то по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки и не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть

- минимальная инвариантная в подгруппа и - силовская 2-подгруппа из , которая содержится в . Так как , то неразрешима и . Подгруппа даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале

. Тогда и неабелева. По теореме П. Фонга из группа диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях . Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что

. Тогда - элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если абелева, то или группа Янко порядка 175560. Так как неабелева, то и индекс в четен. Группа разрешима, поэтому и или . Ho группа порядка 3, a . Противоречие. Если - диэдральная группа порядка 8, то - нечетное простое число или . Но группы и не допускают нужной факторизации, поэтому - собственная в подгруппа. Теперь или . Если , то - диэдральная группа порядка 16, а так как , то . Противоречие. Если , то и в существует подгруппа порядка или .

Пусть, наконец,

. Тогда и . Так как фактор-группа разрешима по индукции, то и . Используя самоцентрализуемость силовской -подгруппы в , нетрудно показать, что не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.