Произведение двух групп (стр. 4 из 16)
Пусть
. Если 
- циклическая, то 
разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому 
, 
- циклическая подгруппа индекса 2, 
. Пусть 
, где 
- силовская 2-подгруппа из 
, 
- ее дополнение. Если 
, то 
разрешима. Теперь 
и 
можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как 
и 
, то 
. Пусть 
и 
. Тогда 
и 
. По лемме С. А. Чунихина подгруппа 
максимальна в и 
. Представление группы подстановками смежных классов по подгруппе дважды транзитивное: если 
- простое число, если - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что 
.Противоречие.Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть
и 
- циклические инвариантные подгруппы в и в соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а 
и 
- те силовские 2-подгруппы из и , для которых 
и 
есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что 
. Если 
, то 
и 
разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что 
. Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому Допустим, что
. Если 
, то 
и 
. Так как разрешима, то 
. Если 
, то 
и разрешима.Пусть теперь
. Тогда и 
. Так как не является силовской подгруппой в , то содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе 
. Обозначим через 
силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что инвариантна в .Предположим, что
и пусть 
- инволюция из 
. В все подгруппы характеристические и инвариантна в , поэтому 
и 
. Пусть 
- максимальная в подгруппа, которая содержит 
. Тогда 
разрешима по индукции. Если 
, то 
содержится в и . Значит, 
. Так как - собственная в подгруппа, то 
, 
и 
. Теперь - дважды транзитивная группа степени 
на множестве смежных классов по : если - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.Следовательно,
. Если 
, то 
и 
.Так как не содержит подгрупп, инвариантных в 
, то представление группы подстановками по подгруппе - точное степени 4. Поэтому - группа диэдра порядка 8, 
и 
. В этом случае неабелева. Напомним, что 
и . Таким образом, для силовской 2-подгруппы из имеем: - группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если 
).