Доказательство. Пусть

. Допустим, что существует

, причем

. Так как

транзитивна на

, то

. Ho

, поэтому

и

- тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно,

фиксирует только

. Теперь подстановка

содержит только один цикл длины 1, а так как

- инволюция, то

нечетен. Но

, поэтому существует силовская 2-подгруппа

из

с

и

. Если

, то

, отсюда

и

, т. е.

. Теперь

и из теоремы Глаубермана следует, что

.
Лемма 4 . Пусть центр группы

имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из

либо циклическая, либо инвариантна в

. Если

- группа с циклической подгруппой индекса

, то группа

непроста.
Доказательство. Пусть

- циклическая подгруппа в

, для которой

, а

- максимальная в

подгруппа, содержащая

. Тогда

. Если

, то

и по лемме С. А. Чунихина группа

непроста. Значит,

.
Допустим, что порядок

нечетен. Если

, то

. Если

, то ввиду леммы 2

и поэтому опять

. Рассмотрим представление

подстановками смежных классов по

. Так как

- максимальная в

подгруппа, то

- примитивная группа подстановок степени

. Если

- простое число, то

либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если

- составное число, то, так как

- регулярная группа подстановок при этом представлении,

- опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что

непроста.
Пусть порядок

четен. Если

, то

непроста по лемме 2. Значит,

и

. Пусть

- силовская 2-подгруппа из

. Если

инвариантна в

, то

инвариантна и в

. Следовательно,

- циклическая группа. Но

не является силовской в

, поэтому

содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе

. Теперь для инволюции

из центра

имеем

, т. е.

не максимальная в

. Противоречие.
Следствие. Пусть группа

, где группа

содержит циклическую подгруппу индекса

. Если

- 2-разложимая группа четного порядка, то группа

непроста.
Лемма 5 . Пусть группа

содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если

- 2-разложимая группа, то группа

разрешима.
Доказательство. Применим индукцию к порядку

. Если

, то ввиду леммы 1 фактор-группа

удовлетворяет условиям леммы. По индукции,

разрешима, отсюда разрешима и

.