Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 5 из 12)

Доказательство. По лемме, группа

разрешима. Если группа не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа дисперсивна по Оре.

1. Рассмотрим вначале случай

, где и --- различные простые числа. По лемме в группе любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.

1.1. Пусть в

имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой и --- абелева группа. Так как , то либо , либо . Если предположить, что , то и . Поэтому немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме , . Противоречие. Значит, , и . Из того, что группа дисперсивна по Оре, и , следует, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что и, значит, сверхразрешима. Следовательно, -субнормальна в и в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа сверхразрешима. Итак, в данном случае --- группа типа 2) из данной теоремы.

1.2. Пусть теперь в

все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть вначале

максимальна в . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если -субнормальна в , то, по теореме , . Предположим, что не -субнормальна в . Тогда содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Так как , то . Если , то, согласно лемме, --- минимальная не -группа. Пусть . Тогда и . Применяя теорему Машке, получаем, что и . Если , то . Противоречие. По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Если --- произвольная максимальная подгруппа из , то, ввиду леммы, -субнормальна в . Применяя теорему, получаем, что подгруппа . Значит, --- группа типа 2) из данной теоремы, а --- группа типа 3) из данной теоремы.