Линейная алгебра и математическое программирование (стр. 1 из 4)

ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

Контрольная работа

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Новосибирск 2009

Задачи 1–10. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом

8.

Решение

Используя формулы Крамера

Вычислим определитель системы линейных уравнений

Д =

= (-4)(-5)1 + 3(5)3 + (-2)(-2)(-4) – (-2)(-5)(3) – (-4)(5)(-4) -3(-2)(1) =

= 20 + 45 – 16 – 30 – 80 + 6 = - 55

Так как Д # 0, то система линейных уравнений невырожденная и имеет единственное решение.

Вычислим определители Д1, Д2, Д3

Д1 =

= (31)(-5)1 + (-6)(5)3 + (-11)(-2)(-4) – (-11)(-5)(3) – (31)(5)(-4) – (-6)(-2)(1) = - 155 – 90 – 88 – 165 + 620 – 12 = 110

Д2 =

= (-4)(-6)1 + 3(-11)3 + (-2)(31)(-4) – (-2)(-6)(3) – (-4)(-11)(-4) – 3(31)(1) = 24 – 99 + 248 – 36 + 176 - 93 = 220

Д3 =

= (-4)(-5)(-11) + (3)(5)31 + (-2)(-2)(-6) – (-2)(-5)(31) – (-4)(5)(-6) – 3(-2)(-11) = - 220 + 465 – 24 – 310 – 120 – 66 = - 275

Отсюда, X₁ =

= = - 2, X₂ = = = - 4, X₃ = = = 5

Проверка:

,

что подтверждает правильность найденного решения системы линейных уравнений.

· Решение матричным способом

A * X = B X =

* В

= * * . Д = = - 55

здесь

- алгебраические дополнения, которые и вычислим:

A11 =

= (-5)1 – 5(-4) = 15

A12 =

= -(3(1) –(-2)(-4)) = 5

A13 =

= 3(5) – (-2)(-5) = 5

A21 =

= -( (-2)1 – 5(3) ) = 17

A22 =

= (-4)1 – (-2)3 = 2

A23 =

= - ( (-4)5 – (-2)(-2) ) = 24

A31 =

= (-2)(-4) – (-5)3 = 23

A32 =

= - ( (-4)(-4) – 3(3) ) = - 7

A33 =

= (-4)(-5) – 3(-2) = 26

= * * =

=

= =

Ответ: X₁ = - 2, X₂ = - 4, X₃ = 5

Задачи 11–20. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

18.

Решение

Составим расширенную матрицу (А|B)

Приведем матрицу (А|B) к ступенчатому виду.

Оставив без изменения первую строку и умножая её соответственно на -3, -5, 4, прибавим полученное к строкам 2, 3 и 4

Оставив без изменения первую и вторую строки и умножая последнюю соответственно на -3, -5, прибавим полученное к строкам 3 и 4

По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и неопределенная (имеет бесконечно много решений). Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид

Так как эта система состоит из двух уравнений, но содержит три переменные, одну из переменных можно выбрать произвольно, например, положим х₃. Перенося слагаемые с х₃ в правую часть, получим систему

Решая ее, находим: x₂ =

, x₁ = где х₃ – любое действительное число.

Общим решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая их запись, в которой часть ее переменных, называемых базисными, выражены через оставшиеся переменные, называемые свободными. В данном примере переменные х₁ и х₂ – базисные, а х₃ – свободная. И запись

называется общим решением системы.

Частные решения получаются из общего, если задать произвольно свободные переменные. Например, если

, то X₁ = 1, X₂ = 2. Это частное решение системы.

Базисным решением системы линейных алгебраических уравнений называют такое частное решение, при котором свободные переменные равны нулю. Например, если

, то X₁ = , X₂ = . Это базисное решение системы линейных алгебраических уравнений

Задачи 21–30. Решить графически задачу линейного программирования.

23.

Решение

Построим область допустимых решений. Для этого наносим на чертеж границы области допустимых решений. Каждое из неравенств системы ограничений задачи линейного программирования определяет прямую, которая делит всю числовую плоскость на две полуплоскости. Знак - будет обозначать ту полуплоскость, которая соответствует выполнению неравенства. Область допустимых решений представляет собой многоугольник ABCDE.

X₂

4х₁ + х₂ = 0

5 X₁ ≤ 3

4 X₁ - X₂ ≤ 2

B(0,3) 3 C(3,

)

2

1 D(3,1) X₁ + 4 X₂ ≤ 12

E(2,0) X₂ ≥ 0

A(0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X₁

X₁ ≥ 0

Найдем координаты точек A, B, C, D, E. Для этого последовательно решим несколько систем уравнений, образуемых из неравенств системы ограничений задачи линейного программирования.

Для точки А:

Отсюда, , т.е. А(0,0).

Для точки В:

отсюда, , Х₂ = 3, т.е. В(0,3).

Для точки C:

отсюда, , Х₂ = , т.е. С(3, ).

Для точки D:

отсюда, , Х₂ = 1, т.е. D(3,1).

Для точки E:

отсюда, , Х₁ = 2, т.е. E(2,0).