Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 1 из 23)
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет
Механіко-математичний факультет
Кафедра математичного аналізу
ДИПЛОМНА РОБОТА БАКАЛАВРА
ТЕОРЕМИ ЧЕВИ І МЕНЕЛАЯ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
Виконавець Керівник роботи
студентка групи ММ-01-1 к.ф.-м.н., доцент
Бондаренко Н.С. Поляков О.В.
Допускається до захисту
Завідувач кафедрою Рецензент
доктор фіз.-мат. наук, професор к.ф.-м.н., доцент
Бабенко В.Ф. Великін В.Л.
м. Дніпропетровськ
2006 р.
РЕФЕРАТ
Дипломна робота містить 87 стор., 54 рис., 20 джерел.
Об’єктом дослідження є теореми Чеви та Менелая на площині та в просторі.
Мета роботи – вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теорем Чеви та Менелая.
Одержані висновки та їх новизна – теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх наслідки використовується при розв’язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці. Розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі. В дипломній роботі розв’язано 50 задач.
Результати досліджень можуть бути застосовані при викладанні теми “Теореми Чеви та Менелая” в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнями (на заняттях математичних гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).
Перелік ключових слів: ТЕОРЕМА ЧЕВИ, ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ, ТРИКУТНИК, ТЕТРАЕДР, ТОЧКА, ПРЯМА, СІЧНА, ВІДРІЗОК.
ANNOTATION
This degree thesis of the 5th year student (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Cheva’s and Menelay’s theorems. The work is interesting for the students and post-graduates students of mathematical specialties.
Bibliography: 20.
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ 1. Теорема Менелая для трикутника
1.1 Орієнтовані відрізки
1.2 Теорема Менелая
1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса
1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач
РОЗДІЛ 2. Теорема Менелая для тетраедра
РОЗДІЛ 3. Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів
3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів
3.2 Застосування теорем Чеви для розв’язання задач
РОЗДІЛ 4. Теореми Чеви та Менелая на площині
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
ВСТУП
Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє – лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була “геометрією трикутника”. “Геометрія трикутника” може пишатися теоремами, які носять ім’я Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії – “Нова геометрія трикутника”. Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми “Нової геометрії” продовжують жити й досі. Двом таким теоремам – Чеви та Менелая – присвячена дипломна робота.
Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розв’язанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “з’ясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.
Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розв’язанні досить складних задач.
Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Теореми Чеви та Менелая та їх застосування”.
Робота складається із вступу, 4 розділів, висновків та списку використаної літератури. Кожен розділ побудовано за такою структурою. На початку розділу наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім викладено задачі з докладним розв’язанням, а наприкінці наведено задачі для самостійної роботи з розв’язанням та відповідями.
В першому розділі роботи “Теорема Менелая для трикутника” сформульовано й доведено теорему Менелая для трикутника, наведено нетривіальні приклади використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса), продемонстровано ефективність використання теореми на приклади розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая.
В другому розділі “Теорема Менелая для тетраедра” сформульовано й доведено аналог теореми Менелая в просторі, наведено приклади розв’язання складних стереометричних задач.
В третьому розділі “Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів” сформульовані теореми Чеви та наслідки з них, наведено розв’язані задачі.
В четвертому розділі “Теореми Чеви та Менелая для площини” наведено інший підхід до формулювання теорем Чеви та Менелая.
Всього в роботі розв’язано 50 задач.
Дипломна робота може бути використана викладачами ліцеїв та гімназій при викладанні спеціальних курсів, а також при підготовці учнів до олімпіад з математики.
РОЗДІЛ 1
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ТРИКУТНИКА
1.1 Орієнтовані відрізки
Нехай на прямій
задані відрізки 
та 
. Розглянемо вектори 
та 
(див. рис. 1). Зі шкільного курсу геометрії відомо, що існує таке число 
, що 
. Якщо 
, то вектори називають однаково спрямованими, а якщо 
, то говорять , що вектори протилежно спрямовані (див. рис. 1.1а та 1.1б відповідно).а) б)
Рис. 1.1
При цьому відрізки
та ми будемо називати однаково спрямованими, якщо і протилежно спрямованими, якщо . Саме число будемо називати відношенням орієнтованих відрізків 
(при це відношення є просто відношенням довжин відрізків, а при – відношенням довжин, взяте зі знаком мінус).В подальшому всі відношення виду
будемо розуміти як відношення орієнтованих відрізків.Якщо відрізки
і лежать не на одній прямій, а на паралельних прямих, то також можна говорити про однаково і протилежно орієнтовані відрізки і їхні відношення (див. рис. 1.2). 
Рис. 1.2
 |
Наприклад, нехай
і 
– точки площини, а 
і 
– перпендикуляри, опущені з цих точок на деяку пряму (див. рис. 1.3). Рис. 1.3
Тоді, якщо точки
і лежать по одну сторону від прямої , то відрізки 
й 
орієнтовані однаково (див. рис. 1.3а), а якщо по різні сторони – протилежно (див. рис. 1.3б), при цьому в обох випадках 
.Зазначемо такі важливі властивості відношень:
1)
2) 
.