Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 7 из 23)
, 
, 
.Відповідь: AP:PC=3:2.
Задача 1.11 Три кола різних радіусів розташовані на площині так, що жодне з них не лежить повністю в колі, яке обмежено іншим колом. Кожній парі кіл поставимо у відповідність точку перетину зовнішніх подвійних дотичних. Довести, що одержані три точки лежать на одній прямій.
Доведення.
Нехай радіуси кіл з центрами
рівні 
відповідно . Тоді 
,  |
так як кіла з центрами
и 
гомотетичні відповідно точки С, а відношення радіусів 
- коефіцієнт гомотетіі. Аналогічно
.Таким чином ,
.З теореми оберненої до теореми Менелая маємо, що точки А,В,С лежать на одній прямій.
Задача 1.12 В
бісектриса 
поділяє 
в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана 
поділяє цю бісектрису ?Розв’язок .
Застосовуємо теорему Менелая до трикутника
та прямої 
.Так як
– медіана, то 
, звідси 
Відповідь:
.Задача 1.13 В правильном трикутнику
зістороною 
точка 
–середина , 
– середина 
, 
, 
.Знайти 
.  |
Розв’язок.
Площа правильного трикутника дорівнює
.Розглянемо трапецію
, 
. Знайдемо висоту 
цієї трапеції: 
Оскільки
, то 
, звідки 
.За умовою
, де 
– трапеція з висотою 
, тоді 
.Застосовуємо теорему Менелая до трикутника
та прямої 
: 
.Застосовуємо теорему Менелая до трикутника
та прямої 
: 
.Оскільки
, то 
, звідки 
. 
.Відповідь: