Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 5 из 23)

(1.3.1)

З трикутника

:

.

, тому

(1.3.2)

Поділимо почленно рівність (1.3.1) на рівність (1.3.2):

З

(1.3.3)

З

: (1.3.4)

Поділимо почленно рівність (1.3.3) на рівність (1.3.4):

,

(*)

Нехай

.

З

(1.3.5)

З

: (1.3.6)

Поділимо почленно рівність (1.3.5) на рівність (1.3.6)

З

(1.3.7)

З

: (1.3.8)

Поділимо почленно рівність (1.3.7) на рівність (1.3.8):

,

,

Оскільки

, то

(**)

Використовуючи співвідношення (*) і (**), запишемо:

.

Аналогічно одержимо

.

Використовуючи властивості площ, маємо:

Відповідь: 3:7.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

(1.3.9)

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

(1.3.10)

Використовуючи (1.3.9) і (1.3.10) дістанемо:

Аналогічно

А далі розв’язуємо, як в 1-му способі.

Відповідь: 3 : 7.

Задача 1.4 Висота

рівнобедреного трикутника з основою поділена на три рівні частини. Через точку та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

,

,

Звідси

см , см.

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

,

Звідси

см, (см)

Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.

Задача 1.5 Через середину

сторони паралелограма , площа якого дорівнює 1, і вершину проведено пряму, яка перетинає діагональ у точці . Знайти площу чотирикутника .

Розв’язок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

,

,

Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, то

Відповідь:

Задача 1.6.У трикутнику

на стороні взято точку , а на стороні точки і так , що і . У якому відношенні пряма ділить відрізок .