Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (стр. 4 из 23)

Рис. 1.10

Доведення

Нехай протилежні сторони чотирикутника

перетинаються в точках та (див. рис. 1.10). необхідно довести, що середина відрізка , середини та діагоналей і чотирикутника лежать на одній прямій.

Через точки

проведемо прямі, паралельні сторонам трикутника : , , .

Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони

трикутника в їх серединах . Таким чином, точки лежать на продовженнях сторін трикутника , сторони якого є середніми лініями трикутника . Для того, щоб довести, що точки лежать на одній прямій, достатньо довести співвідношення

.

В силу властивості середньої лінії трикутника

, .

Отже,

. Аналогічно знаходимо , . Тоді добуток дорівнює . А цей добуток дорівнює –1 згідно з теоремою Менелая, яка застосовується до та прямої . Теорема доведена.

1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач

Задача 1.1 У трикутнику

медіана ділить відрізок (точка належить стороні ) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини . У якому відношенні відрізок ділить медіану

Розв’язок.

1-й спосіб

Нехай

Введемо вектори

.

Розкладемо вектор

за неколінеарними векторами і :

Оскільки

, то

,

.

Виходячи з єдиності розкладу вектора

за неколінеарними векторами і , маємо:

,

Відповідь 3 : 1.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої

Виходячи з умови, маємо :

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої

Тоді

Відповідь: 3 : 1.

Задача 1.2 У трикутнику

відрізок ( належить стороні ) ділить медіану у відношенні 3:4, починаючи від вершини . У якому відношенні точка ділить сторону

Розв’язок.

1-й спосіб

Проведемо

За умовою

За теоремою Фалеса . Нехай , тоді

Відповідь: 3:8.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника

і прямої :

Тоді

.

Відповідь: 3 : 8 .

Задача 1.3 Сторони трикутника

поділено точками і так, що

.

Знайти відношення площі трикутника, обмеженого прямими

і , до площі трикутника .

Розв’язок.

1-й спосіб

Нехай .

Використовуємо теорему синусів для трикутника

: